熊本大学 2021年度 前期 理工系数学② 第3問

(問1)
$d=\beta -\alpha$，$$u=\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }$$ とおく。$d\mathrm{\ne }0$，$\beta =\alpha +d$，$\gamma =\alpha +ud$ を与式に代入して整理すると$$w^2{d}^2-4u^2{d}^2=0$$となる。よって$${\left(\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }\right)}^2=\frac{w^2}{4}\mathrm{.}$$(問2)
正三角形では$$\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\text{または}\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\mathrm{.}$$また問1より $u=\pm w\mathrm{/}2$。$w$ の実部，虚部がともに正であることから$$w=1+\sqrt{3}i\mathrm{.}$$(問3)
正三角形条件から $$\gamma -\alpha =\frac{w}{2}(\beta -\alpha )$$。$\alpha =w$，$d=\beta -w$ とおくと $$\gamma =w+\frac{w}{2}d$$。重心条件より$$\frac{w+(w+d)+(w+\frac{w}{2}d)}{3}=\frac{w^2}{2}\mathrm{.}$$したがって$$d=\frac{3w(w-2)}{w+2}=-3+\sqrt{3}i\mathrm{.}$$$w=1+\sqrt{3}i$ なので$$\beta =-2+2\sqrt{3}i,\gamma =-2.$$

与式を一方へ移して $\alpha ,\beta ,\gamma$ の差の平方に直接まとめる。正三角形の頂点は重心の周りに120度ずつ並ぶため、(問3)は連立方程式ではなく重心からの回転で求める。

(問1)
与式を左辺に移して ${\alpha }^2$ の係数を整理すると$$0=w^2{\alpha }^2+w^2{\beta }^2-2w^2\alpha \beta -4{\alpha }^2-4{\gamma }^2+8\alpha \gamma$$である。したがって$$w^2(\beta -\alpha {)}^2-4(\gamma -\alpha {)}^2=0$$となる。$\alpha \mathrm{\ne }\beta$ より$${\left(\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }\right)}^2=\frac{w^2}{4}$$である。

(問2)$$u=\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }$$とおく。正三角形であるための条件は$$u=e^{i\pi \mathrm{/}3}\text{または}u=e^{-i\pi \mathrm{/}3}$$である。また(問1)より $w=\pm 2u$ である。これら4候補のうち実部と虚部がともに正であるものは$$w=1+\sqrt{3}i$$だけである。

(問3)
正三角形の重心を $G$ とする。正三角形では重心と外心が一致し、3頂点は $G$ の周りに120度ずつ並ぶ。ここで$$G=\frac{w^2}{2}=-1+\sqrt{3}i,A=w=1+\sqrt{3}i$$だから$$\overrightarrow{GA}=2$$である。このベクトルを $2\pi \mathrm{/}3$ と $4\pi \mathrm{/}3$ だけ回転すると$$2e^{2\pi i\mathrm{/}3}=-1+\sqrt{3}i,2e^{4\pi i\mathrm{/}3}=-1-\sqrt{3}i$$である。したがって残る2頂点は$$G+2e^{2\pi i\mathrm{/}3}=-2+2\sqrt{3}i,G+2e^{4\pi i\mathrm{/}3}=-2$$である。(問1)の向き $u=w\mathrm{/}2=e^{i\pi \mathrm{/}3}$ と一致するように対応させると$$\beta =-2+2\sqrt{3}i,\gamma =-2$$を得る。