熊本大学 2025年度数学③ 第3問｜問題・解答・解説

方針

回転軸に垂直な平面 $x = t$ で切る。四面体の断面は $y z$ 平面内の長方形で，回転軸は点 $(0, 1)$ に見える。長方形をこの点の周りに回転した通過領域について，軸点が長方形の外か内か，最遠頂点がどちらかにより $0 ≦ t ≦ 1$ ， $1 ≦ t ≦ 2$ ， $2 ≦ t ≦ 3$ に分け，断面積を積分する。

解答

$0 ≦ x ≦ 3$ で、四面体を平面 $x = 一定$ で切る。この断面を $y z$ 平面で見ると $- (3 - x) ≦ y ≦ 3 - x, 0 ≦ z ≦ x$ で表される長方形である。回転軸 $l$ はこの断面では点 $(y, z) = (0, 1)$ に対応する。

この長方形を点 $(0, 1)$ の周りに回転したときの面積を $A (x)$ とする。 $0 ≦ x ≦ 1$ では軸点が長方形の外にあり、内半径は $1 - x$ 、外半径の平方は $(3 - x)^{2} + 1$ である。したがって $A (x) = π {(3 - x)^{2} + 1 - (1 - x)^{2}} = π (9 - 4 x)$ である。

$1 ≦ x ≦ 2$ では軸点が長方形内にあり、外半径の平方は $(3 - x)^{2} + 1$ であるから $A (x) = π {(3 - x)^{2} + 1}$ である。

$2 ≦ x ≦ 3$ では軸点が長方形内にあり、外半径の平方は $(3 - x)^{2} + (x - 1)^{2}$ であるから $A (x) = π {(3 - x)^{2} + (x - 1)^{2}}$ である。

よって求める体積は $\begin{aligned} V & = \int_{0}^{1} π (9 - 4 x) d x + \int_{1}^{2} π {(3 - x)^{2} + 1} d x + \int_{2}^{3} π {(3 - x)^{2} + (x - 1)^{2}} d x \\ = π (7 + \frac{10}{3} + \frac{8}{3}) = 13 π \end{aligned}$ である。

【断面の見取り図】

$0 ≦ t < 1$ では回転軸が長方形の外にあるため内円が抜ける。 $t ≧ 1$ では軸点を含み，通過領域は円板になる。さらに $t = 2$ で最遠頂点が下端側から上端側へ切り替わる。

総評

【公式解答例との対応】公式の断面法と照合し，三つの断面積 $π (9 - 4 t)$ ， $π (t^{2} - 6 t + 10)$ ， $π (2 t^{2} - 8 t + 10)$ および体積 $13 π$ の一致を確認した。

難度8，計算量7，想定時間35分。三次元の回転体を外観から直接求めるのではなく，回転軸に垂直な $x = t$ 断面で処理することが決定的である。 $t = 1$ は軸点が長方形へ入る境界， $t = 2$ は最遠頂点が切り替わる境界であり，場合分けの根拠が異なる。

【独立検算】四面体の各面の一次不等式から断面が $∣ y ∣ ≦ 3 - t, 0 ≦ z ≦ t$ であることを再導出し，各区間の端 $t = 0, 1, 2, 3$ で断面積が連続すること，三積分の値が $7 π, 10 π / 3, 8 π / 3$ であることを確認した。

出典: 熊本大学令和7年度一般選抜（前期日程）数学③（公式問題・解答例）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

熊本大学 2025年度 前期数学③ 第3問

方針

解答

総評

熊本大学 2025年度前期数学③ 第3問