熊本大学 2018年度 前期数学② 第3問

(問1)$$x_k={\displaystyle \frac{k}{n}}$$ であり，長方形の底辺の長さは ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ であるから$$L_k=\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$$である。したがって$$L_1+L_n=\frac{1}{n}\{f\left(\frac{1}{n}\right)+f(1)\}$$である。これを展開すると$$L_1+L_n=\frac{a+b+2c}{n}+\frac{b}{n^2}+\frac{a}{n^3}$$である。これがすべての $n$ について$$\frac{10}{n}+\frac{8}{n^3}$$に等しいので，係数を比較して$$a=8,b=0,c=1$$である。

(問2)
(問1)より $f(x)=8x^2+1$ である。したがって$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}k{L}_k=\sum _{k=1}^n\frac{1}{n}\cdot \frac{k}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$$である。区分求積法により$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}k{L}_k={\int }_0^{1}x(8x^2+1)dx=\frac{5}{2}$$である。

(問3)
同様に$$\frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^n{k}^2{L}_k=\sum _{k=1}^n\frac{1}{n}{\left(\frac{k}{n}\right)}^{2}f\left(\frac{k}{n}\right)$$である。よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^n{k}^2{L}_k={\int }_0^1{x}^2(8x^2+1)dx=\frac{8}{5}+\frac{1}{3}=\frac{29}{15}$$である。

問1は $n$ の恒等式として係数比較する。問2・問3は区分求積を使わず、自然数のべき和公式から極限を直接計算して結果を照合する。

(問1)$$L_k=\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$$なので$$L_1+L_n=\frac{a+b+2c}{n}+\frac{b}{n^2}+\frac{a}{n^3}\mathrm{.}$$両辺に $n^3$ を掛けると$$(a+b+2c)n^2+bn+a=10n^2+8.$$これはすべての $n\geqq 2$ で成り立つから$$a=8,b=0,a+b+2c=10.$$よって$$a=8,b=0,c=1.$$(問2)$$f(x)=8x^2+1$$より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}k{L}_k}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^n(\frac{8k^3}{n^4}+\frac{k}{n^2})\mathrm{.}}\end{array}$$べき和公式$$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2},\sum _{k=1}^n{k}^3={\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}}^2$$を用いると、極限は$$8\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\mathrm{.}$$(問3)

同様に$$\frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^n{k}^2{L}_k=\frac{8}{n^5}\sum _{k=1}^n{k}^4+\frac{1}{n^3}\sum _{k=1}^n{k}^2\mathrm{.}$$ここで$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n^5}\sum _{k=1}^n{k}^4=\frac{1}{5},\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n^3}\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{1}{3}\mathrm{.}$$したがって$$8\cdot \frac{1}{5}+\frac{1}{3}=\frac{29}{15}\mathrm{.}$$