熊本大学 2025年度 前期数学③ 第2問

(問1)$$z=\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i=\sqrt{2}(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6})$$である。$$\beta =z\alpha ,\gamma =z^2\alpha$$であるから、$OB$から$OC$への偏角の増加は$\pi \mathrm{/}6$である。したがって$$\mathrm{\angle }BOC=\frac{\pi }{6}$$である。

(問2)
全体を$\alpha$で割って考え、最後に$\alpha$を掛け戻す。すなわち$A=1$、$B=z$、$C=z^2$としてよい。このとき$$z^2=1+\sqrt{3}i$$であり、直線$AC$は実部が$1$の直線である。線分$BD$の垂直二等分線が$A,C$を通るには、$D$は$B$を直線$AC$について対称移動した点である。したがって$$D=2-\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$$である。よって$$\delta =(2-\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)\alpha$$である。

(問3)
(問2)と同じく$\alpha =1$として計算する。$$C=1+\sqrt{3}i,B=\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i,D=2-\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$$である。$C$から見た二つのベクトルは$$\overrightarrow{CB}=(\frac{\sqrt{6}}{2}-1,\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{3}),\overrightarrow{CD}=(1-\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{3})$$であり、長さは等しい。$$a=\frac{\sqrt{6}}{2}-1$$、$$b=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{2}}{2}$$とおくと$$\sin \theta =\frac{2ab}{a^2+b^2}$$である。これを整理して$$\sin \theta =\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}$$を得る。

【正規化後の反射図】

直線 $AC$ は $\mathrm{Re}w=1$ であり，$B,D$ はこの直線に関して対称である。