熊本大学 2025年度 前期数学③ 第4問

(問1)
$x^p$は$x\geqq 0$で増加するから$${\int }_0^n{x}^{p}dx\leqq S_n\leqq {\int }_1^{n+1}{x}^{p}dx$$である。したがって$$\frac{1}{p+1}\leqq \frac{S_n}{n^{p+1}}\leqq \frac{(n+1{)}^{p+1}-1}{(p+1)n^{p+1}}$$であり、はさみうちにより$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{S_n}{n^{p+1}}=\frac{1}{p+1}$$である。

(問2)
$y=x^p$の$x=\alpha$における接線は$$y={\alpha }^p+p{\alpha }^{p-1}(x-\alpha )$$である。$$\alpha \leqq x\leqq \beta$$で$$\varphi (x)=x^p-{\alpha }^p-p{\alpha }^{p-1}(x-\alpha )$$とおくと$${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)=p(x^{p-1}-{\alpha }^{p-1})\geqq 0,\varphi (\alpha )=0$$である。よって接線は曲線の下側にある。これを積分して$$\frac{1}{2}(\beta -\alpha )\{2{\alpha }^p+p(\beta -\alpha ){\alpha }^{p-1}\}\leqq {\int }_{\alpha }^{\beta }{x}^{p}dx$$を得る。

また、$y=x^p$の導関数は増加するので、曲線は区間$[\alpha ,\beta ]$で弦の下側にある。すなわち$$x^p\leqq \frac{\beta -x}{\beta -\alpha }{\alpha }^p+\frac{x-\alpha }{\beta -\alpha }{\beta }^p$$である。これを積分して$${\int }_{\alpha }^{\beta }{x}^{p}dx\leqq \frac{1}{2}(\beta -\alpha )({\alpha }^p+{\beta }^p)$$を得る。

(問3)
(問1)より$c=1\mathrm{/}(p+1)$である。まず(問2)の右側の不等式を各区間$[k-1,k]$に用いて足すと$$c{n}^{p+1}={\int }_0^n{x}^{p}dx\leqq S_n-\frac{1}{2}{n}^p$$である。したがって$$\frac{S_n-c{n}^{p+1}}{n^p}\geqq \frac{1}{2}$$である。

次に(問2)の左側の不等式を各区間$[j,j+1]$に用いると$${\int }_j^{j+1}{x}^{p}dx\geqq j^p+\frac{p}{2}{j}^{p-1}$$である。これを$j=1,2,\dots ,n-1$について足すと$$c{n}^{p+1}\geqq S_{n-1}+\frac{p}{2}\sum _{j=1}^{n-1}{j}^{p-1}$$であるから$$S_n-c{n}^{p+1}\leqq n^p-\frac{p}{2}\sum _{j=1}^{n-1}{j}^{p-1}$$である。積分比較により$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n^p}\sum _{j=1}^{n-1}{j}^{p-1}=\frac{1}{p}$$である。したがって，$R_n=(S_n-c{n}^{p+1})\mathrm{/}{n}^p$ とおけば$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\hspace{0.17em}sup}}{R}_n\leqq 1-\frac{p}{2}\cdot \frac{1}{p}=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$一方，先の評価からすべての $n$ で $R_n\geqq 1\mathrm{/}2$ である。よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{S_n-c{n}^{p+1}}{n^p}=\frac{1}{2}$$である。

【接線・弦による評価の図】

凸関数では「接線 $\leqq$ 曲線 $\leqq$ 弦」である。この向きを単位区間ごとに保ったまま加えることが (問3) の核心である。

$S_n\mathrm{/}{n}^{p+1}$ をそのまま $[0,1]$ 上のリーマン和へ変形する。積分比較とは独立に主項 $1\mathrm{/}(p+1)$ を一行で確認できる。

(問1)$$\frac{S_n}{n^{p+1}}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^p\mathrm{.}$$これは連続関数 $x^p$ の区間 $[0,1]$ における右端の区分求積であるから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{S_n}{n^{p+1}}={\int }_0^1{x}^{p}dx=\frac{1}{p+1}\mathrm{.}$$