熊本大学 2026年度 前期数学③ 第1問

(問1)$$a_1=0,a_2=0,a_3=8,a_4=4,a_5=24,a_6=12$$である。したがって$$S_5=0+0+8+4+24=36,S_6=36+12=48$$である。

(問2)
$j$ を正の整数とすると$$a_{2j-1}=(2j-1{)}^2-1=4j(j-1),a_{2j}=\frac{1}{2}(2j{)}^2-2j=2j(j-1)$$である。したがって$$a_{2j-1}+a_{2j}=6j(j-1)$$であるから$$S_{2n}=\sum _{j=1}^{n}6j(j-1)=6\{\sum _{j=1}^n{j}^2-\sum _{j=1}^{n}j\}=2n(n-1)(n+1)$$である。また$$S_{2n-1}=S_{2n}-a_{2n}=2n(n-1)(n+1)-2n(n-1)=2n^2(n-1)$$である。

(問3)
(問2)より$$S_{2j-1}+S_{2j}=2j^2(j-1)+2j(j-1)(j+1)=2j(j-1)(2j+1)$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{\mathrm{\ell }=1}^{2n}{S}_{\mathrm{\ell }}}& {\displaystyle =\sum _{j=1}^{n}2j(j-1)(2j+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{j=1}^n(4j^3-2j^2-2j)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =n^2(n+1{)}^2-\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}-n(n+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{n(n+1)(n-1)(3n+4)}{3}\mathrm{.}}\end{array}$$

$S_1+\cdots +S_{2n}$ の中で各 $a_k$ が何回現れるかを数え，和の順序を交換する。奇数番目と偶数番目を分ければ，一度の多項式和で処理できる。

(問3)
$a_k$ は $S_k,S_{k+1},\dots ,S_{2n}$ の $2n-k+1$ 個に現れるから$$\sum _{\mathrm{\ell }=1}^{2n}{S}_{\mathrm{\ell }}=\sum _{k=1}^{2n}(2n-k+1)a_k\mathrm{.}$$ここで$$a_{2j-1}=4j(j-1),a_{2j}=2j(j-1)$$を代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{\mathrm{\ell }=1}^{2n}{S}_{\mathrm{\ell }}}& {\displaystyle =\sum _{j=1}^n\{2(n-j+1)\cdot 4j(j-1)+(2n-2j+1)\cdot 2j(j-1)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{j=1}^{n}2j(j-1)(6n-6j+5)\mathrm{.}}\end{array}$$$\sum j,\sum j^2,\sum j^3$ の公式で整理して$$\sum _{\mathrm{\ell }=1}^{2n}{S}_{\mathrm{\ell }}=\frac{n(n+1)(n-1)(3n+4)}{3}$$を得る。