熊本大学 2026年度 前期数学③ 第2問

(問1)
1回のくじで当たりを引かない確率は $1-\frac{1}{m}$ である。各回は同じ確率で行われるから$$p_{m,n}={(1-\frac{1}{m})}^n$$である。

(問2)$$p_{25,n}={\left(\frac{24}{25}\right)}^n$$であるから，$p_{25,n}<0.1$ は$${\left(\frac{25}{24}\right)}^n>10$$と同値である。常用対数をとると$$n{\log }_{10}\frac{25}{24}>1$$である。ここで$${\log }_{10}\frac{25}{24}=2-5{\log }_{10}2-{\log }_{10}3$$であるから，条件より$$0.01772<{\log }_{10}\frac{25}{24}<0.01778$$である。したがって$$57\cdot 0.01772=1.01004>1$$より $n=57$ は条件を満たす。一方，$$56\cdot 0.01778=0.99568<1$$より $n=56$ は条件を満たさない。よって求める最小の $n$ は$$57$$である。

(問3)$$p_{m,2m}={(1-\frac{1}{m})}^{2m}$$である。$k=m-1$ とおくと$${(1-\frac{1}{m})}^m={(1+\frac{1}{k})}^{-m}={\left\{{(1+\frac{1}{k})}^k\right\}}^{-m\mathrm{/}k}$$である。$m\to \mathrm{\infty }$ のとき $k\to \mathrm{\infty }$ かつ $m\mathrm{/}k\to 1$ であるから$$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1-\frac{1}{m})}^m=\frac{1}{e}$$である。したがって$$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{p}_{m,2m}={\left(\frac{1}{e}\right)}^2=\frac{1}{e^2}$$である。

$p_{m,2m}$ の自然対数を取り，$0<t<1$ に対する標準不等式 $-t\mathrm{/}(1-t)\leqq \log (1-t)\leqq -t$ を使って極限をはさむ。

(問3)
$0<t<1$ に対して$$-\frac{t}{1-t}\leqq \log (1-t)\leqq -t$$が成り立つ。これは両辺との差を微分すれば確認できる。$t=1\mathrm{/}m$ として $2m$ 倍すると$$-\frac{2m}{m-1}\leqq 2m\log (1-\frac{1}{m})\leqq -2.$$左右はともに $-2$ に収束するから$$\log p_{m,2m}=2m\log (1-\frac{1}{m})⟶-2.$$指数関数の連続性より$$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{p}_{m,2m}=e^{-2}=\frac{1}{e^2}$$である。