京都大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

点 $P$ を $P=(u,u^2-a^2)$ とおく。放物線 $C:y=x^2$ の $x=t$ における接線は $y=2tx-t^2$ である。この接線が $P$ を通る条件は $u^2-a^2=2tu-t^2$ であり、移項すると $(t-u{)}^2=a^2$ となる。$a>0$ だから、2本の接線の接点の $x$ 座標は $u-a,u+a$ である。

したがって $$Q=(u-a,(u-a{)}^2),R=(u+a,(u+a{)}^2)$$ としてよい。この2点を結ぶ直線の傾きは $${\displaystyle \frac{(u+a{)}^2-(u-a{)}^2}{(u+a)-(u-a)}}=2u$$ であるから、直線 $QR$ は $y=2ux-u^2+a^2$ である。
この直線と放物線 $y=x^2$ の縦の差は $$(2ux-u^2+a^2)-x^2=a^2-(x-u{)}^2$$ である。区間 $u-a\leqq x\leqq u+a$ ではこれは非負で、端点で $0$ になる。

よって、線分 $QR$ と $C$ とで囲まれた部分の面積は$${\int }_{u-a}^{u+a}\{a^2-(x-u{)}^2\}dx$$である。$X=x-u$ とおくと$${\int }_{-a}^a(a^2-X^2)dX=2{\int }_0^a(a^2-X^2)dX=2(a^3-{\displaystyle \frac{a^3}{3}})={\displaystyle \frac{4a^3}{3}}$$となる。
この値は $u$ を含まない。したがって、求める面積は $P$ の取り方に無関係である。
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接点が $u-a,u+a$ と求まった後、座標 $X=x-u$ で図形全体を横に平行移動する。
すべての $u$ で境界が同じ式になることから、積分前に面積不変を示す。

$P=(u,u^2-a^2)$ とする。放物線 $y=x^2$ の $x=t$ における接線
$y=2tx-t^2$ が $P$ を通る条件は$$(t-u{)}^2=a^2\mathrm{.}$$よって接点の $x$ 座標は $u-a,u+a$ で、弦 $QR$ は$$y=2ux-u^2+a^2$$である。

ここで $X=x-u$ と置き、同時に縦座標から $u^2+2uX$ を引く。この平行移動・せん断により縦の長さと面積は変わらない。
放物線と弦はそれぞれ$$Y=X^2,Y=a^2$$となる。したがって囲まれる領域は常に$$-a\leqq X\leqq a,X^2\leqq Y\leqq a^2$$であり、$u$ に依存しない。面積は$${\int }_{-a}^a(a^2-X^2)dX={\displaystyle \frac{4a^3}{3}}\mathrm{.}$$