京都大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

三角形 $O{A}_n{B}_n$ の頂角を ${\theta }_n=\mathrm{\angle }{B}_{n}O{A}_n$ とする。$O{A}_n=O{B}_n$ であるから、辺 $A_n{B}_n$ の中点は、頂点 $O$ から見た角の二等分線上にある。したがって作り方より $${\theta }_{n+1}=\frac{{\theta }_n}{2}$$ であり、${\theta }_1=\theta$ だから $${\theta }_n=\frac{\theta }{2^{n-1}}$$ である。

また、$B_{n+1}$ は辺 $A_n{B}_n$ の中点である。二等辺三角形の頂点から底辺の中点までの長さは $$O{B}_{n+1}=O{A}_n\cos \frac{{\theta }_n}{2}$$ である。さらに $O{A}_{n+1}=O{B}_{n+1}$ となるように $A_{n+1}$ を取るので $$a_{n+1}=a_n\cos \frac{{\theta }_n}{2}=a_n\cos \frac{\theta }{2^n}$$ である。

(1) $a_1=1$ より$$a_2=\cos \frac{\theta }{2},a_3=\cos \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{4}$$である。一方、倍角公式を2回用いると$$\sin \theta =2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}=4\sin \frac{\theta }{4}\cos \frac{\theta }{4}\cos \frac{\theta }{2}$$である。したがって$$a_3\sin \frac{\theta }{4}=\cos \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{4}\sin \frac{\theta }{4}=\frac{\sin \theta }{4}$$である。

(2)
上の漸化式と倍角公式から、次の形を作る。$n\geqq 1$ に対して $$a_n\sin \frac{\theta }{2^{n-1}}=\frac{\sin \theta }{2^{n-1}}$$ が成り立つことを示す。$n=1$ では $a_1=1$ なので正しい。これが $n$ で成り立つとすると、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{n+1}\sin \frac{\theta }{2^n}}& {\displaystyle =a_n\cos \frac{\theta }{2^n}\sin \frac{\theta }{2^n}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}{a}_n\sin \frac{\theta }{2^{n-1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\sin \theta }{2^n}}\end{array}$$である。よって帰納的に成り立つ。

したがって $$a_n=\frac{\sin \theta }{2^{n-1}\sin (\theta \mathrm{/}{2}^{n-1})}$$ である。ここで $$u_n=\frac{\theta }{2^{n-1}}$$ とおくと、$n\to \mathrm{\infty }$ のとき $u_n\to 0$ であり、$$a_n=\frac{\sin \theta }{\theta }\cdot \frac{u_n}{\sin u_n}$$ である。${\lim }_{u\to 0}\sin u\mathrm{/}u=1$ より $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\frac{\sin \theta }{\theta }$$ である。