京都大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$A$ が1勝した直後で、次に $B$ と対戦する状態から優勝する確率を $X_B$、次に $C$ と対戦する状態から優勝する確率を $X_C$ とする。

状態 $X_B$ では、$A$ が $B$ に勝てば直ちに優勝する。負けた場合に状態 $X_B$ へ戻るには、続いて $C$ が $B$ に勝ち、さらに $A$ が $C$ に勝てばよい。したがって$$X_B=p+(1-p){\displaystyle \frac{1}{2}}q{X}_B\mathrm{.}$$同様に$$X_C=q+(1-q){\displaystyle \frac{1}{2}}p{X}_C\mathrm{.}$$これらを解くと$$X_B={\displaystyle \frac{2p}{2-q+pq}},X_C={\displaystyle \frac{2q}{2-p+pq}}\mathrm{.}$$(1)
初戦で $A$ が $B$ に勝った後は状態 $X_C$ だから、求める確率は$$p{X}_C={\displaystyle \frac{2pq}{2-p+pq}}\mathrm{.}$$(2)
初戦で $A$ が $B$ に負けた後、$C$ が $B$ に勝ち、$A$ が $C$ に勝って初めて状態 $X_B$ に入る。したがって$$(1-p){\displaystyle \frac{1}{2}}q{X}_B={\displaystyle \frac{pq(1-p)}{2-q+pq}}\mathrm{.}$$(3)
初戦で $B$ が勝つ場合と $C$ が勝つ場合はともに確率 $1\mathrm{/}2$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}p{X}_C+{\displaystyle \frac{1}{2}}q{X}_B}& {\displaystyle =pq({\displaystyle \frac{1}{2-p+pq}}+{\displaystyle \frac{1}{2-q+pq}})\mathrm{.}}\end{array}$$同じ状態へ戻る一巡を確率方程式に入れる

$A$ が1勝して次の相手を待つ状態から、すぐ優勝する場合と、3試合を経て同じ状態へ戻る場合を1組にする。戻る回数ごとの確率を等比級数として足す。

$A$ が1勝して次に $C$ と対戦する状態を考える。すぐに $C$ に勝つ確率は $q$ である。$C$ に負け、次に $B$ が $C$ に勝ち、さらに $A$ が $B$ に勝つと、同じ状態へ戻る。その一巡の確率は$$r_C=(1-q){\displaystyle \frac{1}{2}}p$$である。したがって、この状態からの優勝確率は$$q(1+r_C+r_C^2+\cdots )={\displaystyle \frac{q}{1-r_C}}={\displaystyle \frac{2q}{2-p+pq}}\mathrm{.}$$同様に、$A$ が1勝して次に $B$ と対戦する状態からの優勝確率は$${\displaystyle \frac{p}{1-(1-p)q\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{2p}{2-q+pq}}\mathrm{.}$$(1)
初戦で $B$ に勝つ確率 $p$ を掛けて$${\displaystyle \frac{2pq}{2-p+pq}}\mathrm{.}$$(2)
初戦で $B$ に負け、$C$ が $B$ に勝ち、$A$ が $C$ に勝つ確率を先に掛けるので$$(1-p){\displaystyle \frac{1}{2}}q\cdot {\displaystyle \frac{2p}{2-q+pq}}={\displaystyle \frac{pq(1-p)}{2-q+pq}}\mathrm{.}$$(3)
初戦の勝者で分けると$${\displaystyle \frac{1}{2}}p\cdot {\displaystyle \frac{2q}{2-p+pq}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}q\cdot {\displaystyle \frac{2p}{2-q+pq}},$$すなわち$$pq({\displaystyle \frac{1}{2-p+pq}}+{\displaystyle \frac{1}{2-q+pq}})$$である。