京都大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第5問

(1) $i$ 回目に初めて赤球が出るには、最初の $i-1$ 回が白球で、$i$ 回目が赤球であればよい。したがって $1\leqq i\leqq s+1$ の範囲で $P_i$ が正になり、それ以降は $P_i=0$ である。 $P_i>0$ である範囲では、$P_i$ から $P_{i+1}$ に進むとき、さらに1個白球を先に取り出し、その後に赤球を取り出す形になる。直接比を計算すると $${\displaystyle \frac{P_{i+1}}{P_i}}={\displaystyle \frac{s-i+1}{r+s-i}}$$ である。ここで $r\geqq 1$ だから $s-i+1\leqq r+s-i$ であり、${\displaystyle \frac{P_{i+1}}{P_i}}\leqq 1$ となる。よって $P_i\geqq P_{i+1}$ である。$P_i=0$ となった後も両辺は $0$ なので、不等式は保たれる。

(2) $A$ が勝つのは、最初の赤球が $1,3,5,\dots$ 回目に出るときである。したがって $A$ の勝つ確率は $P_1+P_3+P_5+\cdots$ である。一方、$B$ の勝つ確率は $P_2+P_4+P_6+\cdots$ である。

(1) より $$P_1\geqq P_2,P_3\geqq P_4,P_5\geqq P_6,\dots$$ が成り立つ。したがって、奇数番目の和は偶数番目の和以上であり、$$P_1+P_3+P_5+\cdots \geqq P_2+P_4+P_6+\cdots$$ を得る。

赤球は少なくとも1個あるので、いずれ必ず勝者が決まる。したがって両辺の和は $1$ である。ゆえに $$P_1+P_3+P_5+\cdots \geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$ であり、$A$ が勝者となる確率は ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ 以上である。

奇数番目と直後の偶数番目を組にすれば、先手が不利にならない

最初の $i-1$ 個が白で次が赤となる確率を積で書き、
隣接する $P_i,P_{i+1}$ の共通部分を約分する。
後半は奇数番目と直後の偶数番目を1組ずつ比較する。

(1)
$1\leqq i\leqq s+1$ について$$P_i={\displaystyle \frac{s}{r+s}}{\displaystyle \frac{s-1}{r+s-1}}\cdots {\displaystyle \frac{s-i+2}{r+s-i+2}}{\displaystyle \frac{r}{r+s-i+1}}\mathrm{.}$$したがって共通因子を約分すると$${\displaystyle \frac{P_{i+1}}{P_i}}={\displaystyle \frac{s-i+1}{r+s-i}}\leqq 1.$$よって $P_i\geqq P_{i+1}$ である。範囲外では両方0なので
同じ結論が成り立つ。

(2)
$A$ の勝率を $p_A$、$B$ の勝率を $p_B$ とすると$$p_A=P_1+P_3+P_5+\cdots ,p_B=P_2+P_4+P_6+\cdots \mathrm{.}$$各組で $P_{2j-1}\geqq P_{2j}$ だから $p_A\geqq p_B$ である。
また必ずどちらかが勝つので $p_A+p_B=1$。したがって$$p_A\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$