京都大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第5問

まず、$A_0$ から $A_3$ へは辺を3本進む必要があるので、終了する時刻は奇数回目だけである。

1回移動した後は、必ず $A_1\text{または}{A}_5$ にいる。したがって $p_0=1$ である。また1回目で $A_3$ に到達することはないので $q_0=0$ である。

次に、ある奇数回の移動後にゲームがまだ終了していないとする。このとき位置は $A_1$ または $A_5$ である。実際、奇数回後の位置は添字が奇数の頂点に限られ、$A_3$ に着いていればその時点で終了しているからである。 $A_1$ にいる場合、次の2回の移動で終了するのは $A_1\to A_2\to A_3$ となる場合だけである。これは2回とも反時計まわりに進む場合で、その確率は $${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。したがって、次の2回後も終了していない確率は $$1-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$$ である。 $A_5$ にいる場合も同様に、次の2回で終了するのは $A_5\to A_4\to A_3$ の場合だけであり、確率は $1\mathrm{/}4$ である。よって、どちらの位置にいても、次の2回で終了しない確率は $3\mathrm{/}4$ である。

したがって、1回目の後から2回ずつ見ると、未終了の確率は毎回 $3\mathrm{/}4$ 倍される。ゆえに $$p_n={\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^n$$ である。

次に $q_n$ を求める。$n=0$ ではすでに見たように $q_0=0$ である。$n\geqq 1$ のとき、ちょうど $(2n+1)$ 回目で終了するには、まず $(2n-1)$ 回目まで終了しておらず、その後の2回で初めて $A_3$ に到達すればよい。前者の確率は $p_{n-1}$、後者の条件付き確率は $1\mathrm{/}4$ である。よって$$q_n=p_{n-1}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{4}}$$である。したがって $$q_n={\displaystyle \frac{1}{4}}{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{n-1}(n\geqq 1)$$ である。

最初の1回の後を起点にし、その後の投げ方を2回ずつのブロックに分ける。未終了の各状態からは4種類のブロックのうちちょうど1種類が終了、3種類が生存なので、場合の数を直接数える。

1回目の移動後は $A_1$ または $A_5$ にいて，まだ終了していない。よって$$p_0=1,q_0=0.$$それ以後の移動を2回ずつのブロックに分ける。$A_1$ からは4種類の表裏列のうち「表・表」のときだけ $A_3$ に到達する。$A_5$ からは「裏・裏」のときだけ到達する。したがって，どちらの状態でも1ブロックにつき$$\text{終了する列は1種類，生存する列は3種類}$$である。

$n$ ブロックすべてを生存する列は $3^n$ 種類，全列は $4^n$ 種類だから$$p_n={\displaystyle \frac{3^n}{4^n}}={\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^n\mathrm{.}$$$n\geqq 1$ のとき，ちょうど $(2n+1)$ 回目で終わるには，最初の $n-1$ ブロックで生存し，最後のブロックで終了すればよい。その列は $3^{n-1}$ 種類だから$$q_n={\displaystyle \frac{3^{n-1}}{4^n}}={\displaystyle \frac{1}{4}}{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{n-1}\mathrm{.}$$