京都大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $i$ 回目に勝者が決まるのは、最初の $i-1$ 回がすべて白球で、$i$ 回目に赤球が出る場合である。したがって $P_i>0$ となるのは $1\leqq i\leqq s+1$ の範囲であり、それ以降は $P_i=0$ である。 $P_i>0$ の範囲で隣り合う比を取ると $${\displaystyle \frac{P_{i+1}}{P_i}}={\displaystyle \frac{s-i+1}{r+s-i}}$$ である。実際、$i+1$ 回目に決まるには、$i$ 回目まで白球が続き、その後に赤球が出ればよいので、$P_i$ と比べて上の比だけが追加で現れる。

ここで $r\geqq 1$ より $s-i+1\leqq r+s-i$ である。したがって ${\displaystyle \frac{P_{i+1}}{P_i}}\leqq 1$ であり、$P_i\geqq P_{i+1}$ が成り立つ。$P_i=0$ となる範囲では両辺とも $0$ なので、同じ不等式が成り立つ。

(2) $A$ は1回目、3回目、5回目、$\dots$ に赤球が初めて出たときに勝つ。したがって $A$ の勝つ確率は $P_1+P_3+P_5+\cdots$ である。一方、$B$ の勝つ確率は $P_2+P_4+P_6+\cdots$ である。

(1) より $$P_1\geqq P_2,P_3\geqq P_4,P_5\geqq P_6,\dots$$ なので $$P_1+P_3+P_5+\cdots \geqq P_2+P_4+P_6+\cdots$$ である。赤球は少なくとも1個あるから、いずれ必ずどちらかが勝ち、両辺の和は $1$ である。よって $A$ の勝つ確率は ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ 以上である。

次に、等号条件を調べる。等号が成り立つためには、上で組にしたすべてについて $P_{2j-1}=P_{2j}$ が成り立ち、さらに最後に余る奇数番目の正の項があってはならない。

比の式より、$P_i>0$ の範囲で $P_{i+1}=P_i$ となるのは $s-i+1=r+s-i$ すなわち $r=1$ の場合に限られる。したがって、すべての組で等号になるには $r=1$ が必要であり、また $r=1$ なら確かにすべての隣接比は $1$ になる。

最後に余りを考える。勝者が決まる可能性がある回数は $1,2,\dots ,s+1$ である。奇数番目の項が余らないためには、最後の番号 $s+1$ が偶数でなければならない。これは $s\text{ が奇数}$ であることと同値である。

以上より、$A$ の勝つ確率が ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ となるための条件は $$r=1,s\text{ は奇数}$$ である。

各組の差と、最後に余る奇数番目の項を別々に確認する

$P_{i+1}\mathrm{/}{P}_i$ を求めて単調性を示し、奇数・偶数を組にする。
等号条件では各組の不等式が全て等号になる条件と、
正の奇数番目の項が最後に余らない条件を分けて調べる。

(1)
$1\leqq i\leqq s+1$ で$${\displaystyle \frac{P_{i+1}}{P_i}}={\displaystyle \frac{s-i+1}{r+s-i}}\leqq 1$$だから $P_i\geqq P_{i+1}$ である。

(2)
$A$ と $B$ の勝率はそれぞれ$$p_A=\sum _{j\geqq 1}{P}_{2j-1},p_B=\sum _{j\geqq 1}{P}_{2j}\mathrm{.}$$各組で $P_{2j-1}\geqq P_{2j}$ だから
$p_A\geqq p_B$。かつ $p_A+p_B=1$ より$$p_A\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$等号には、正である全ての組で
$P_{2j-1}=P_{2j}$ が必要である。比の式からこれは$$r=1$$と同値である。さらに最後に正の奇数番目が余らないため、
最後の番号 $s+1$ は偶数、すなわち $s$ は奇数でなければ
ならない。逆にこの2条件なら全てが対になって等しい。
よって等号条件は$$r=1,s\text{ は奇数}$$である。