京都大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

与えられた直線は $a\{x-(a^2+a-2)\}+y+2=0$ であるから $y=-ax+a(a^2+a-2)-2$ である。ここで $$a(a^2+a-2)-2=a^3+a^2-2a-2=(a+1)(a^2-2)$$ である。

(1) まず $x$ 軸との交点を $A=(s,0)$ とする。$y=0$ を代入して $0=-as+(a+1)(a^2-2)$ より $$s={\displaystyle \frac{(a+1)(a^2-2)}{a}}$$ である。$a>0$ なので、$A$ が $x$ 軸の正の部分にある条件は $(a+1)(a^2-2)>0$ すなわち $$a>\sqrt{2}$$ である。

(2) 次に、直線 $$y={\displaystyle \frac{x}{2}}$$ との交点を $$B=(t,{\displaystyle \frac{t}{2}})$$ とおく。これを与えられた直線に代入すると $$at-a(a^2+a-2)+{\displaystyle \frac{t}{2}}+2=0$$ だから $$(a+{\displaystyle \frac{1}{2}})t=(a+1)(a^2-2)$$ であり、$$t={\displaystyle \frac{2(a+1)(a^2-2)}{2a+1}}$$ である。$$a>\sqrt{2}$$ のもとでは $s>0,t>0$ であり、さらに $${\displaystyle \frac{t}{s}}={\displaystyle \frac{2a}{2a+1}}<1$$ だから $0<t<s$ である。

三角形 $OAB$ のどの角が鈍角になり得るかを内積で調べる。まず$$\overrightarrow{OA}=(s,0),\overrightarrow{OB}=(t,{\displaystyle \frac{t}{2}})$$なので $$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=st>0$$ であり、角 $O$ は鈍角ではない。また$$\overrightarrow{AO}=(-s,0),\overrightarrow{AB}=(t-s,{\displaystyle \frac{t}{2}})$$だから $$\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AB}=s(s-t)>0$$ であり、角 $A$ も鈍角ではない。

したがって鈍角三角形になるには、角 $B$ が鈍角であればよい。これは $$\overrightarrow{BO}\cdot \overrightarrow{BA}<0$$ であることと同値である。ここで$$\overrightarrow{BO}=(-t,-{\displaystyle \frac{t}{2}}),\overrightarrow{BA}=(s-t,-{\displaystyle \frac{t}{2}})$$だから$$\overrightarrow{BO}\cdot \overrightarrow{BA}=-t(s-t)+{\displaystyle \frac{t^2}{4}}=t({\displaystyle \frac{5}{4}}t-s)$$である。$t>0$ より、角 $B$ が鈍角である条件は $$s>{\displaystyle \frac{5}{4}}t$$ である。$${\displaystyle \frac{t}{s}}={\displaystyle \frac{2a}{2a+1}}$$ を用いると $$1>{\displaystyle \frac{5}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{2a}{2a+1}}$$ であり、これは $4a+2>5a$ すなわち $a<2$ を意味する。

以上より、求める $a$ の範囲は $$\sqrt{2}<a<2$$ である。

交点を $A=(s,0),B=(t,t\mathrm{/}2)$ と表し、条件(1)から $a>\sqrt{2}$ を得る。三辺の長さの2乗を比較し、最長辺 $OA$ の対角である角 $B$ が鈍角となる条件を求める。

(1)
与えられた直線を整理すると$$y=-ax+(a+1)(a^2-2)$$である。$x$ 軸との交点を $A=(s,0)$ とすれば$$s={\displaystyle \frac{(a+1)(a^2-2)}{a}}\mathrm{.}$$$a>0$ だから $s>0$ となる条件は $a>\sqrt{2}$ である。

(2)
$y=x\mathrm{/}2$ との交点を $B=(t,t\mathrm{/}2)$ とすると$$t={\displaystyle \frac{2(a+1)(a^2-2)}{2a+1}},{\displaystyle \frac{t}{s}}={\displaystyle \frac{2a}{2a+1}}\mathrm{.}$$したがって $a>\sqrt{2}$ のもとで $0<t<s$ である。三辺の長さの2乗は$$O{A}^2=s^2,O{B}^2={\displaystyle \frac{5}{4}}{t}^2,A{B}^2=(s-t{)}^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}{t}^2\mathrm{.}$$$0<t<s$ より角 $O,A$ は鋭角なので、鈍角になり得るのは角 $B$ だけである。余弦定理より角 $B$ が鈍角である条件は$$O{A}^2>O{B}^2+A{B}^2\mathrm{.}$$上の式を代入すると$$s^2>{\displaystyle \frac{5}{4}}{t}^2+(s-t{)}^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}{t}^2$$であり、整理して$$s>{\displaystyle \frac{5}{4}}t$$を得る。よって$$1>{\displaystyle \frac{5}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{t}{s}}={\displaystyle \frac{5}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{2a}{2a+1}}$$であり、これは $a<2$ と同値である。以上から$$\sqrt{2}<a<2$$である。