京都大学 1988年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

楕円の半径に当たる $a,b$ は正とする。楕円上の点を$$P=(a\cos t,b\sin t)$$とおく。$P$ における接線は$$\frac{x\cos t}{a}+\frac{y\sin t}{b}=1$$であり、その法線ベクトルは$$\vec{n}=(\frac{\cos t}{a},\frac{\sin t}{b})$$である。直線 $OQ$ は接線に垂直なので、$\overrightarrow{OQ}$ は $\vec{n}$ と同じ向きである。また$$\overrightarrow{OP}\cdot \vec{n}={\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1>0$$だから$$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{a^2{\cos }^{2}t+b^2{\sin }^{2}t}\sqrt{{\displaystyle \frac{{\cos }^{2}t}{a^2}}+{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}t}{b^2}}}}$$である。

分母の平方を整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle (a^2{\cos }^{2}t+b^2{\sin }^{2}t)(\frac{{\cos }^{2}t}{a^2}+\frac{{\sin }^{2}t}{b^2})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+{\cos }^{2}t{\sin }^{2}t{(\frac{a}{b}-\frac{b}{a})}^2}\end{array}$$となる。ここで$$0\leqq {\cos }^{2}t{\sin }^{2}t\leqq \frac{1}{4}$$であり、上端は ${\cos }^{2}t={\sin }^{2}t=1\mathrm{/}2$ のとき実現する。したがって $\cos \theta$ の最小値は$$\frac{1}{\sqrt{1+{\displaystyle \frac{1}{4}}{({\displaystyle \frac{a}{b}}-{\displaystyle \frac{b}{a}})}^2}}=\frac{2ab}{a^2+b^2}$$である。

同じ点表示を用いるが、余弦を直接計算せず、$\overrightarrow{OP}$ と法線ベクトルのなす角の正接を調べる。内積は1、平面ベクトルの成分から得る面積は $\mathrm{\mid }(a\mathrm{/}b-b\mathrm{/}a)\sin t\cos t\mathrm{\mid }$ なので、$\tan \theta$ の最大値が直ちに分かる。角は鋭角または0だから、正接最大が余弦最小に対応する。

$P=(a\cos t,b\sin t)$ とし、接線の法線方向を$$\vec{n}=(\frac{\cos t}{a},\frac{\sin t}{b})$$とする。直線 $OQ$ は $\vec{n}$ の方向である。

$\overrightarrow{OP}$ と $\vec{n}$ の内積は$$\overrightarrow{OP}\cdot \vec{n}=1$$である。一方、この2ベクトルが作る平行四辺形の面積は、成分を使って$$\mid a\cos t\frac{\sin t}{b}-b\sin t\frac{\cos t}{a}\mid =\mid \frac{a}{b}-\frac{b}{a}\mid \mathrm{\mid }\sin t\cos t\mathrm{\mid }$$である。したがって、内積が正であることに注意すると$$\tan \theta =\mid \frac{a}{b}-\frac{b}{a}\mid \mathrm{\mid }\sin t\cos t\mathrm{\mid }$$となる。$$\mathrm{\mid }\sin t\cos t\mathrm{\mid }\leqq \frac{1}{2}$$だから$$\tan \theta \leqq \frac{\mathrm{\mid }{a}^2-b^2\mathrm{\mid }}{2ab}$$であり、等号は ${\sin }^{2}t={\cos }^{2}t=1\mathrm{/}2$ のとき実現する。$0\leqq \theta <\pi \mathrm{/}2$ では正接が大きいほど余弦は小さいので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \min \cos \theta }& {\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{1+{\left({\displaystyle \frac{a^2-b^2}{2ab}}\right)}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2ab}{a^2+b^2}}\end{array}$$である。