京都大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

円の中心を $O$、半径を $R$ とする。まず $P,Q$ が直径の両端でない場合を考える。短い方の弧 $PQ$ の中点方向を $x$ 軸の正方向に取り、ある $0\leqq \varphi <\pi \mathrm{/}2$ を用いて$$P=(R\cos \varphi ,R\sin \varphi ),Q=(R\cos \varphi ,-R\sin \varphi )$$とおく。円上の点 $X$ を$$X=(Ru,Rv),u^2+v^2=1$$とする。

距離の平方は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle X{P}^2}& {\displaystyle =2R^2(1-u\cos \varphi -v\sin \varphi ),}\\ {\displaystyle X{Q}^2}& {\displaystyle =2R^2(1-u\cos \varphi +v\sin \varphi )}\end{array}$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle X{P}^{2}X{Q}^2}& {\displaystyle =4R^4\{(1-u\cos \varphi {)}^2-v^2{\sin }^2\varphi \}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4R^4(u-\cos \varphi {)}^2}\end{array}$$となる。したがって$$XP\cdot XQ=2R^2\mathrm{\mid }u-\cos \varphi \mathrm{\mid }$$である。

$-1\leqq u\leqq 1$ かつ $\cos \varphi >0$ だから、この値は $u=-1$ のとき最大になる。これは短い方の弧 $PQ$ の中点と直径の反対側にある点、すなわち長い方の弧 $PQ$ の中点である。

$P,Q$ が直径の両端なら $\cos \varphi =0$ となり、$\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }$ が最大になる $u=\pm 1$ の2点、すなわち $PQ$ に垂直な直径の両端で最大となる。なお $P=Q$ を許す場合は、その点の対蹠点で最大となる。

短い方の弧 $PQ$ の中点を中心角0とし、$P,Q$ の偏角を $\pm \varphi$、動点 $X$ の偏角を $\theta$ とする。弦長公式で $XP,XQ$ を正弦に直し、積和公式により $2R^2\mathrm{\mid }\cos \theta -\cos \varphi \mathrm{\mid }$ を得る。余弦の値域から最大位置を決め、$P,Q$ が直径の両端である場合を別に確認する。

円の半径を $R$ とする。短い方の弧 $PQ$ の中点を偏角0の点とし、$$P:\varphi ,Q:-\varphi ,X:\theta$$とおく。ただし $0\leqq \varphi \leqq \pi \mathrm{/}2$ としてよい。

中心角に対する弦長の公式から$$XP=2R\mid \sin \frac{\theta -\varphi }{2}\mid ,XQ=2R\mid \sin \frac{\theta +\varphi }{2}\mid$$である。積和公式を使うと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle XP\cdot XQ}& {\displaystyle =4R^2\mid \sin \frac{\theta -\varphi }{2}\sin \frac{\theta +\varphi }{2}\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2R^2\mathrm{\mid }\cos \varphi -\cos \theta \mathrm{\mid }}\end{array}$$となる。

$0\leqq \varphi <\pi \mathrm{/}2$ なら $\cos \varphi >0$ なので、$-1\leqq \cos \theta \leqq 1$ の範囲で $\mathrm{\mid }\cos \varphi -\cos \theta \mathrm{\mid }$ が最大になるのは $\cos \theta =-1$ のときである。これは長い方の弧 $PQ$ の中点である。

$\varphi =\pi \mathrm{/}2$、すなわち $P,Q$ が直径の両端なら、積は $2R^2\mathrm{\mid }\cos \theta \mathrm{\mid }$ となるので、$PQ$ に垂直な直径の両端の2点で最大となる。