京都大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
4人の1回の出し方は全部で $3^4=81$ 通りである。

1回でゲームが終了するのは、1人だけが勝つ手を出し、残り3人がそれに負ける手を出す場合である。勝つ手の種類は3通りで、その勝つ手を出す人の選び方は4通りだから $3\cdot 4=12$ 通りである。したがって $$p_1={\displaystyle \frac{12}{81}}={\displaystyle \frac{4}{27}}$$ である。

2回目が2人で行われるのは、勝つ手を出す人が2人、負ける手を出す人が2人の場合である。勝つ手の種類が3通り、勝つ手を出す2人の選び方が ${}_4{\mathrm{C}}_2$ 通りなので $$3\cdot {}_4{\mathrm{C}}_2=18$$ 通りである。よって $$p_2={\displaystyle \frac{18}{81}}={\displaystyle \frac{2}{9}}$$ である。

2回目が3人で行われるのは、勝つ手を出す人が3人、負ける手を出す人が1人の場合である。これは $3\cdot 4=12$ 通りなので $$p_3={\displaystyle \frac{12}{81}}={\displaystyle \frac{4}{27}}$$ である。

2回目も4人で行われるのは、誰も負けない場合である。これは、全員が同じ手を出す場合、または3種類の手がすべて出る場合である。上の結果を全体から引けば$$p_4=1-p_1-p_2-p_3=1-{\displaystyle \frac{4}{27}}-{\displaystyle \frac{2}{9}}-{\displaystyle \frac{4}{27}}={\displaystyle \frac{13}{27}}$$である。

(2) $m$ 人で1回じゃんけんをして、その1回で1人だけが残る確率を $r_m$ とする。2人の場合は、2人が異なる手を出せば必ず1人が勝つので $$r_2={\displaystyle \frac{6}{9}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$$ である。3人の場合は、1人だけが勝つ手を出し、残り2人が負ける手を出す場合であり $$r_3={\displaystyle \frac{3\cdot 3}{3^3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。4人の場合は先ほどの $p_1$ と同じで $$r_4={\displaystyle \frac{4}{27}}$$ である。

2回でゲームが終了するためには、1回目ではまだ1人に決まらず、2回目で1人に決まればよい。したがって $q=p_2{r}_2+p_3{r}_3+p_4{r}_4$ である。これを代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle q}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{4}{27}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{13}{27}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{27}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{108}{729}}+{\displaystyle \frac{36}{729}}+{\displaystyle \frac{52}{729}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{196}{729}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって $$q={\displaystyle \frac{196}{729}}$$ である。

4人の手を、全員同じ・3種類全て・2種類だけの三型に分ける。2種類だけのときは勝つ手を出した人数を1、2、3人に分け、二回目の人数を表で読み取る。

(1)
4人の出し方は $3^4=81$ 通りである。手の出現型で分類すると次の表になる。$$\begin{array}{ccc}\text{出現型}& \text{通り数}& \text{次に残る人数}\\ \text{全員同じ}& 3& 4\\ \text{3種類全て}& 3\cdot {}_4{\mathrm{C}}_2\cdot 2=36& 4\\ \text{2種類、勝者1人}& 3\cdot {}_4{\mathrm{C}}_1=12& 1\\ \text{2種類、勝者2人}& 3\cdot {}_4{\mathrm{C}}_2=18& 2\\ \text{2種類、勝者3人}& 3\cdot {}_4{\mathrm{C}}_3=12& 3\end{array}$$したがって$$p_1={\displaystyle \frac{12}{81}}={\displaystyle \frac{4}{27}},p_2={\displaystyle \frac{18}{81}}={\displaystyle \frac{2}{9}},p_3={\displaystyle \frac{12}{81}}={\displaystyle \frac{4}{27}},$$$$p_4={\displaystyle \frac{3+36}{81}}={\displaystyle \frac{13}{27}}\mathrm{.}$$(2)
$m$ 人で一回だけじゃんけんをして1人に決まる確率を $r_m$ とする。同じ分類から$$r_2={\displaystyle \frac{2}{3}},r_3={\displaystyle \frac{1}{3}},r_4={\displaystyle \frac{4}{27}}\mathrm{.}$$二回で終了するには、一回目に2、3、4人が残り、二回目に1人へ決まればよい。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle q}& {\displaystyle =p_2{r}_2+p_3{r}_3+p_4{r}_4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{4}{27}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{13}{27}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{27}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{196}{729}}\mathrm{.}}\end{array}$$