京都大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
半径 $r$ の円が半径 $1$ の円の内側に入り、同時に半径 $1-2r$ の円の外側に入るには、その中心は共通中心から距離 $1-r$ の円周上になければならない。実際、外側の円に内接すると中心距離は $1-r$ であり、このとき内側の円との距離も $(1-r)-(1-2r)=r$ となる。

この円周上に $n$ 個の中心を置く。中心角を一周分足すと $2\pi$ なので、隣り合う中心の中に、中心角が $2\pi \mathrm{/}n$ 以下である組が少なくとも一つある。その2点間の距離は高々 $2(1-r)\sin \frac{\pi }{n}$ である。

小円どうしが交わらないためには、どの2中心間距離も少なくとも $2r$ でなければならない。したがって $2r\leqq 2(1-r)\sin \frac{\pi }{n}$ である。これを解くと $$0<r\leqq \frac{\sin \frac{\pi }{n}}{1+\sin \frac{\pi }{n}}$$ を得る。

(2) $n+2$ 個の円の面積の総和を $S(r)$ とする。半径は $1$、$1-2r$、そして $r$ が $n$ 個であるから $$\frac{S(r)}{\pi }=1+(1-2r{)}^2+n{r}^2$$ である。整理すると $$\frac{S(r)}{\pi }=(n+4)r^2-4r+2$$ であり、これは $$r=\frac{2}{n+4}$$ で最小となる2次式である。

あとはこの値が (1) の範囲に入ることを確認する。$0<\pi \mathrm{/}n\leqq \pi \mathrm{/}2$ であり、この範囲では $$\sin \frac{\pi }{n}\geqq \frac{2}{n}$$ が成り立つ。よって $$(n+2)\sin \frac{\pi }{n}\geqq (n+2)\frac{2}{n}=2+\frac{4}{n}>2$$ である。一方、$$\frac{2}{n+4}\leqq \frac{s}{1+s}(s>0)$$ は $2\leqq (n+2)s$ と同値である。ここで $$s=\sin \frac{\pi }{n}$$ とすれば、上の不等式により確かに成り立つ。

したがって2次式の頂点は許される範囲内にあり、面積の総和が最小となるのは $$r=\frac{2}{n+4}$$ のときである。