京都大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

与えられた関係を成分で書くと $$x_{n+1}=(1-a)x_n-(1+a)y_n$$ および $$y_{n+1}=(a-1)x_n+(a-1)y_n$$ である。

(1) $x_1=p,y_1=q$ だから $x_2=(1-a)p-(1+a)q$ であり、$$y_2=(a-1)p+(a-1)q=(a-1)(p+q)$$ である。

次に、一般に2回進めた形を求めておく。まず$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x_{n+2}}& {\displaystyle =(1-a)x_{n+1}-(1+a)y_{n+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-a)\{(1-a)x_n-(1+a)y_n\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -(1+a)\{(a-1)x_n+(a-1)y_n\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\{(1-a{)}^2+(1-a)(1+a)\}{x}_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(1-a)x_n\mathrm{.}}\end{array}$$同様に$$\begin{array}{rl}{\displaystyle y_{n+2}}& {\displaystyle =(a-1)x_{n+1}+(a-1)y_{n+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(a-1)\{(1-a)x_n-(1+a)y_n\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +(a-1)\{(a-1)x_n+(a-1)y_n\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\{-(a-1{)}^2+(a-1{)}^2\}{x}_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +\{-(a-1)(1+a)+(a-1{)}^2\}{y}_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(1-a)y_n\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $$x_3=2(1-a)x_1=2(1-a)p,y_3=2(1-a)y_1=2(1-a)q$$ である。

(2)
上で得た関係より $$x_{n+2}=r{x}_n,y_{n+2}=r{y}_n,r=2(1-a)$$ である。$${\displaystyle \frac{1}{2}}<a<{\displaystyle \frac{3}{2}}$$ のとき $-1<2(1-a)<1$ すなわち $\mathrm{\mid }r\mathrm{\mid }<1$ である。

したがって奇数番については $$x_{2k+1}=r^{k}p,y_{2k+1}=r^{k}q$$ であり、$k\to \mathrm{\infty }$ でどちらも0に近づく。また偶数番についても $$x_{2k}=r^{k-1}{x}_2,y_{2k}=r^{k-1}{y}_2$$ であり、これも0に近づく。よって $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=0,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n=0$$ である。

原問題の係数行列を $M$ とおき、直接 $M^2$ を計算する。$M^2=2(1-a)I$ から奇数番と偶数番の一般形を一度に得る。

係数行列を$$M=\left(\begin{array}{cc}1-a& -1-a\\ a-1& a-1\end{array}\right)$$とおく。

(1)
定義から$$\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(1-a)p-(1+a)q\\ (a-1)(p+q)\end{array}\right)\mathrm{.}$$また行列を直接掛けると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle M^2}& {\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}2(1-a)& 0\\ 0& 2(1-a)\end{array}\right)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$\left(\begin{array}{c}{x}_3\\ y_3\end{array}\right)=M^2\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2(1-a)p\\ 2(1-a)q\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)
$r=2(1-a)$ とおけば $M^2=rI$ である。したがって$$\left(\begin{array}{c}{x}_{2k+1}\\ y_{2k+1}\end{array}\right)=r^k\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{x}_{2k}\\ y_{2k}\end{array}\right)=r^{k-1}M\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\mathrm{.}$$$${\displaystyle \frac{1}{2}}<a<{\displaystyle \frac{3}{2}}$$のとき $\mathrm{\mid }r\mathrm{\mid }<1$ だから、奇数番・偶数番のどちらも各成分が0へ近づく。よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=0,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n=0$$である。