京都大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1)
状態を、$A,B,C$ が持っている赤札の枚数の三つ組 $(r_A,r_B,r_C)$ で表す。赤札は全部で3枚であり、各人はいつも2枚の札を持っているので、各成分は $0,1,2$ のいずれかで、和は3である。したがって可能な形は $(1,1,1)$ または $(2,1,0)$ の並べ替えである。

最初の状態を $F_0=(1,1,1)$ とする。残りの6状態を、移動の向きに沿って $$F_1=(2,1,0),F_2=(1,2,0),F_3=(0,2,1),$$ $$F_4=(0,1,2),F_5=(1,0,2),F_6=(2,0,1)$$ と名づける。これで起こりうる状態はすべてである。

(2)
まず $F_0=(1,1,1)$ から考える。この状態では3人とも赤札1枚、白札1枚を持っているので、それぞれ赤を渡すか白を渡すかが確率 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ずつである。3人の選び方は全部で $2^3=8$ 通りである。

3人が全員赤を渡す場合、または全員白を渡す場合には、各人が受け取る赤札数も失う赤札数も同じなので $F_0$ にとどまる。この2通りの確率は $${\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。残り6通りは、$F_1,\dots ,F_6$ のいずれかに1通りずつ移る。したがって $$p_{00}={\displaystyle \frac{1}{4}},p_{0j}={\displaystyle \frac{1}{8}}(j=1,2,\dots ,6)$$ である。

次に $F_1,\dots ,F_6$ からの移動を考える。これらの状態では、赤札を2枚持つ人は必ず赤札を渡し、赤札を0枚持つ人は必ず白札を渡す。赤札を1枚持つ人だけが、赤札を渡すか白札を渡すかで2通りに分かれる。したがって各状態からの分岐は確率 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ずつである。

例えば $F_1=(2,1,0)$ では、$A$ は必ず赤を渡し、$C$ は必ず白を渡す。$B$ が赤を渡せば全員が赤1枚ずつになり $F_0$ へ移る。$B$ が白を渡せば $(1,2,0)=F_2$ へ移る。よって $$p_{10}=p_{12}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。同様に$$p_{20}=p_{23}={\displaystyle \frac{1}{2}},p_{30}=p_{34}={\displaystyle \frac{1}{2}},p_{40}=p_{45}={\displaystyle \frac{1}{2}},$$さらに$$p_{50}=p_{56}={\displaystyle \frac{1}{2}},p_{60}=p_{61}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$であり、ここに書いたもの以外の $p_{ij}$ はすべて0である。

(3)
最初の状態から $n$ 回移動した後に $F_0$ にいる確率を $q_n$ とする。最初は $F_0$ にいるので $q_0=1$ である。

(2) より、現在 $F_0$ にいるとき、次に $F_0$ にいる確率は ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。一方、現在 $F_0$ 以外のどの状態にいても、次に $F_0$ に移る確率は ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。したがって $$q_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{4}}{q}_n+{\displaystyle \frac{1}{2}}(1-q_n)$$ である。整理すると $$q_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}{q}_n$$ である。

この漸化式の一定値を $L$ とすると $$L={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}L$$ だから $$L={\displaystyle \frac{2}{5}}$$ である。よって $$q_{n+1}-{\displaystyle \frac{2}{5}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}(q_n-{\displaystyle \frac{2}{5}})$$ である。$q_0=1$ より $$q_0-{\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$$ だから $$q_n={\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}{(-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^n$$ である。

全員が赤白1枚ずつの状態を $U$、それ以外の6状態をまとめて $V$ とする。六つの状態の対称性を使って二群間の確率だけを数え、定常値との差を等比数列にする。

(1)
各人の赤札枚数で状態を表すと、可能なのは$$F_0=(1,1,1)$$と、$(2,1,0)$ の6個の並べ替えだけである。これらを順に $F_1,\dots ,F_6$ と名づければよい。

(2)
$F_0$ では3人がそれぞれ赤か白を確率 $1\mathrm{/}2$ で渡す。8通り中、全員赤または全員白の2通りで $F_0$ に戻るから$$p_{00}={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$残る6通りは $F_1,\dots ,F_6$ へ1通りずつ移るので$$p_{0j}={\displaystyle \frac{1}{8}}(1\leqq j\leqq 6)\mathrm{.}$$$F_0$ 以外では、赤2枚の人と赤0枚の人が渡す色は決まり、赤1枚の人だけが二分する。その一方は $F_0$ へ、他方は次の非初期状態へ移るので、各行の非零確率は $1\mathrm{/}2,1\mathrm{/}2$ である。

(3)
$F_0$ を群 $U$、残る6状態を群 $V$ とまとめる。上の結果から$$U\to U:{\displaystyle \frac{1}{4}},U\to V:{\displaystyle \frac{3}{4}},V\to U:{\displaystyle \frac{1}{2}},V\to V:{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$$n$ 回後に $U$ にいる確率を $q_n$ とすると$$q_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{4}}{q}_n+{\displaystyle \frac{1}{2}}(1-q_n)\mathrm{.}$$定常値 $2\mathrm{/}5$ との差を $s_n=q_n-2\mathrm{/}5$ とおけば$$s_{n+1}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}{s}_n,s_0={\displaystyle \frac{3}{5}}\mathrm{.}$$したがって$$q_n={\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}{(-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^n\mathrm{.}$$