京都大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
平面 $ax+y+z+a-2=0$ の法線ベクトルは $(a,1,1)$ である。原点に最も近い平面上の点は、原点からこの法線方向に進んだ点なので $(x,y,z)=\lambda (a,1,1)$ とおける。これを平面の式に代入すると $$a(\lambda a)+\lambda +\lambda +a-2=0$$ すなわち $\lambda (a^2+2)+a-2=0$ である。したがって $$\lambda ={\displaystyle \frac{2-a}{a^2+2}}$$ である。よって求める点は$$({\displaystyle \frac{a(2-a)}{a^2+2}},{\displaystyle \frac{2-a}{a^2+2}},{\displaystyle \frac{2-a}{a^2+2}})$$である。

(2)
原点から平面までの距離を $d$ とする。距離の公式より $$d={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }a-2\mathrm{\mid }}{\sqrt{a^2+2}}}$$ である。球の中心は原点で半径は3であるから、平面が中心から遠いほど小さい方の部分の体積は小さくなる。したがって $d$ を最大にすればよい。 $d$ の最大化は $$d^2={\displaystyle \frac{(a-2{)}^2}{a^2+2}}$$ の最大化と同じである。これを $R(a)$ とおくと $$R(a)={\displaystyle \frac{(a-2{)}^2}{a^2+2}}$$ であり、微分して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle R^{\mathrm{\prime }}(a)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2(a-2)(a^2+2)-2a(a-2{)}^2}{(a^2+2{)}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4(a-2)(a+1)}{(a^2+2{)}^2}}}\end{array}$$となる。したがって増減を調べると、$R(a)$ は $a=-1$ で最大となる。実際 $$R(-1)={\displaystyle \frac{9}{3}}=3$$ であり、$a\to \pm \mathrm{\infty }$ では $R(a)\to 1$、$a=2$ では $R(a)=0$ である。よって最大距離は $$d=\sqrt{3}$$ で、このとき $a=-1$ である。

半径3の球を、中心から距離 $d$ の平面で切る。小さい方の部分は高さ $h=3-d$ の球冠である。半径3の球の球冠の体積は $\pi h^2(3-{\displaystyle \frac{h}{3}})$ である。ここで $$d=\sqrt{3}$$ だから $$h=3-\sqrt{3}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V_{\min }}& {\displaystyle =\pi (3-\sqrt{3}{)}^2(3-{\displaystyle \frac{3-\sqrt{3}}{3}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi (18-8\sqrt{3})\mathrm{.}}\end{array}$$以上より $$a=-1,V_{\min }=\pi (18-8\sqrt{3})$$ である。

平面までの距離の最大値は、平方の非負性だけで評価する。球冠の体積は公式に頼らず、球の円形断面を表示積分して求める。

(1)
平面の法線方向は $(a,1,1)$ であるから、最短点を $\lambda (a,1,1)$ とおく。平面の式へ代入して$$\lambda (a^2+2)+a-2=0$$を得る。したがって$$\lambda ={\displaystyle \frac{2-a}{a^2+2}}$$であり、最短点は$$({\displaystyle \frac{a(2-a)}{a^2+2}},{\displaystyle \frac{2-a}{a^2+2}},{\displaystyle \frac{2-a}{a^2+2}})$$である。

(2)
原点から平面までの距離を $d$ とすると$$d^2={\displaystyle \frac{(a-2{)}^2}{a^2+2}}\mathrm{.}$$ここで$$3(a^2+2)-(a-2{)}^2=2(a+1{)}^2\geqq 0$$だから $d^2\leqq 3$ であり、等号は $a=-1$ のときに成り立つ。小さい方の球冠は平面が中心から遠いほど小さいので、$a=-1,d=\sqrt{3}$ のときに体積が最小となる。

法線方向を $z$ 軸とみなすと、高さ $z$ における球の断面積は$$\pi (9-z^2)$$である。小さい球冠は $\sqrt{3}\leqq z\leqq 3$ に対応するから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V_{\min }}& {\displaystyle =\pi {\int }_{\sqrt{3}}^3(9-z^2)dz}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi {[9z-{\displaystyle \frac{z^3}{3}}]}_{\sqrt{3}}^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi (18-8\sqrt{3})\mathrm{.}}\end{array}$$