京都大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $i<j$ のとき、全出目が $i,\dots ,j$ に入り、$i,j$ が共に現れる必要がある。包除により$$P(M_n=j,m_n=i)={\displaystyle \frac{(j-i+1{)}^n-2(j-i{)}^n+(j-i-1{)}^n}{6^n}}\mathrm{.}$$$i=j$ では全て同じ目なので $P=6^{-n}$ である。

(2) 少なくとも一つ1と一つ6が出る確率は$$1-2{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{4}{6}}\right)}^n⟶1.$$$X_n=M_n\mathrm{/}{m}_n$ とすると常に $1\leqq X_n\leqq 6$ で、この事象上では $X_n=6$ である。従って$$E\mathrm{\mid }{X}_n-6\mathrm{\mid }\leqq 5P(X_n\mathrm{\ne }6)⟶0.$$同様に $E(X_n^2)\to 36$ だから$$\lim E(X_n)=6,\lim V(X_n)=36-6^2=0.$$

全出目が $[i,j]$ に入る確率を基本量とし、最小と最大を端点に固定するため左右の区間を差し引く。極限は失敗確率を直接上から抑える。

(1) 全出目が $i$ 以上 $j$ 以下となる確率は$$H(i,j)={\left({\displaystyle \frac{j-i+1}{6}}\right)}^n\mathrm{.}$$$i<j$ では最小を $i$、最大を $j$ に固定する二階差を取って$$P=H(i,j)-H(i+1,j)-H(i,j-1)+H(i+1,j-1),$$すなわち解法1の式を得る。$i=j$ は $6^{-n}$ である。

(2) $X_n\mathrm{\ne }6$ なら1が一度も出ないか6が一度も出ないので$$P(X_n\mathrm{\ne }6)\leqq 2{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n\mathrm{.}$$従って$$\mathrm{\mid }E(X_n)-6\mathrm{\mid }\leqq 10{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n\to 0.$$また $\mathrm{\mid }{X}_n^2-36\mathrm{\mid }\leqq 35$ より二乗平均も36へ近づく。よって平均の極限は6、分散の極限は0である。