京都大学 1988年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第5問

各回に ${\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2,{\vec{e}}_3$ の方向へ進む確率は、それぞれ$$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$である。

(1)

$(1,2,0)$ に到達するには、3回のうち ${\vec{e}}_1$ を1回、${\vec{e}}_2$ を2回選べばよい。${\vec{e}}_1$ を選ぶ回は3通りなので、確率は$$3{\left(\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{1}{9}$$である。

(2)

${\vec{e}}_i$ が一度も選ばれない事象を $A_i$ とする。これは第 $i$ 座標が0である事象である。各回に1方向を避ける確率は $2\mathrm{/}3$ だから$$P(A_i)={\left(\frac{2}{3}\right)}^n$$である。異なる2方向をともに避けるには、残る1方向だけを毎回選ぶので$$P(A_i\cap A_j)={\left(\frac{1}{3}\right)}^n$$である。$n\geqq 1$ では3方向をすべて避けることはできない。

包除原理より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(A_1\cup A_2\cup A_3)}& {\displaystyle =3{\left(\frac{2}{3}\right)}^n-3{\left(\frac{1}{3}\right)}^n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2^n-1}{3^{n-1}}}\end{array}$$である。したがって答えは$$\text{(1) }\frac{1}{9},\text{(2) }\frac{2^n-1}{3^{n-1}}$$である。

全事象を3方向の長さ $n$ の列 $3^n$ 通りとする。座標平面上にあるのは、使用された方向が1種類または2種類の場合である。1種類だけの列を3通り、ちょうど2種類の列を「使う2方向の選択」と「両方が少なくとも1回出る列」に分けて数え、全事象で割る。

(1)

3回の方向列は全部で $3^3$ 通りで、どれも同確率である。$(1,2,0)$ になる列は$$122,212,221$$の3通りだから$$\frac{3}{3^3}=\frac{1}{9}$$である。

(2)

$n$ 回の方向列は全部で $3^n$ 通りである。点がいずれかの座標平面上にあることは、少なくとも1方向が一度も使われないこと、すなわち使用方向が2種類以下であることと同値である。

使用方向がちょうど1種類の列は、方向を選ぶだけなので3通りである。

使用方向がちょうど2種類の列は、使う2方向の選び方が$${}_3{\mathrm{C}}_2=3$$通りある。選んだ2方向による列は $2^n$ 通りだが、片方だけを使う2列を除く必要があるので、各組について $2^n-2$ 通りである。したがって求める列の総数は$$3+3(2^n-2)=3(2^n-1)$$である。

よって確率は$$\frac{3(2^n-1)}{3^n}=\frac{2^n-1}{3^{n-1}}$$となる。したがって$$\text{(1) }\frac{1}{9},\text{(2) }\frac{2^n-1}{3^{n-1}}$$である。