京都大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

大きいタイルを $k$ 枚、小さいタイルを $s$ 枚使うとする。面積と総枚数から$$4k+s=18,k+s=n$$である。したがって$$n=18-3k,s=18-4k$$を得る。

次に大きいタイルの上限を調べる。縦3の長方形内にある縦幅2のタイルは、中央の横線と必ず交わる。その交わりは長さ2の区間であり、異なる大タイルから生じる区間は重ならない。横幅は6だから$$2k\leqq 6$$であり、$k\leqq 3$ である。一方、$k=0,1,2,3$ は、大タイルを横に並べ、残りを小タイルで埋めれば実現できる。

したがって $k=0,1,2,3$ に対応して $n=18,15,12,9$ だけが可能である。$n=18-3k$ のとき、$n$ 回のうち大タイルが出る回を $k$ 回選べばよいから、その確率は$${}_n{\mathrm{C}}_k{q}^k{p}^{18-4k}$$である。よって求める確率は$$\{\begin{array}{ll}{p}^{18}& (n=18),\\ 15q{p}^{14}& (n=15),\\ 66q^2{p}^{10}& (n=12),\\ 84q^3{p}^6& (n=9),\\ 0& (\text{その他})\end{array}$$である。

総面積18と総枚数 $n$ を先に固定し、大タイル枚数 $k$ と小タイル枚数 $s$ を連立方程式から $n$ の式で求める。非負整数条件と、大タイルが中央線上で占める長さから得る $k\leqq 3$ を合わせて、可能な $n$ を直接絞る。確率は $(p+qz{)}^n$ の $z^k$ の係数として一括して読み取る。

大タイル枚数を $k$、小タイル枚数を $s$ とすれば$$k+s=n,4k+s=18$$だから$$k=\frac{18-n}{3},s=\frac{4n-18}{3}$$である。大タイルは中央の横線上に互いに重ならない長さ2の区間を占めるから $k\leqq 3$ であり、$k,s$ は非負整数なので$$\begin{array}{ccccc}k& 0& 1& 2& 3\\ n& 18& 15& 12& 9\\ s& 18& 14& 10& 6\end{array}$$だけが残る。各組は大タイルを横に並べ、残りを1×1で埋めれば実現する。

$(p+qz{)}^n$ の $z^k$ の係数は、大タイルがちょうど $k$ 枚出る確率$${}_n{\mathrm{C}}_k{p}^{n-k}{q}^k$$である。表の4組を代入して$$\{\begin{array}{ll}{p}^{18}& (n=18),\\ 15q{p}^{14}& (n=15),\\ 66q^2{p}^{10}& (n=12),\\ 84q^3{p}^6& (n=9),\\ 0& (\text{その他})\end{array}$$を得る。