京都大学 1989年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)

$d=(a,b)$ とし、$a=d\alpha ,b=d\beta$ とおく。$a,b,d,\alpha ,\beta$ は奇数で、$(\alpha ,\beta )=1$ である。$$(m,n)=d(11\alpha +\beta ,3\alpha +\beta )\mathrm{.}$$右の最大公約数を $g$ とする。二数はともに偶数なので $2\mid g$ である。また$$(11\alpha +\beta )-(3\alpha +\beta )=8\alpha \mathrm{.}$$一方 $$(3\alpha +\beta ,\alpha )=(\beta ,\alpha )=1$$ だから、$g\mid 8$ である。よって $g=2,4,8$ のいずれかであり、$${\displaystyle (m,n)=2d,4d,8d}$$のいずれかである。

(2)

$m=u^2,n=v^2$ と仮定する。$m,n$ は偶数なので $u,v$ も偶数であり、$u=2r,v=2s$ と書ける。差を取ると$$u^2-v^2=m-n=8a,$$したがって$$r^2-s^2=2a\mathrm{.}$$右辺は $a$ が奇数なので4で割って2余る。しかし平方数は4で割って0または1しか余らず、二つの平方数の差が4で割って2余ることはない。矛盾である。よって $m,n$ がともに平方数になることはない。