京大 1992年度理系数学第6問｜問題・解答・解説

方針

絶対値の中身を一度 $u = 2 c_{n} - a_{n} - 2 b_{n}$ ， $v = 2 c_{n} - 2 a_{n} - b_{n}$ と置き， $u^{2} + v^{2}$ と $c_{n + 1}^{2}$ を直接比較する。展開すると差が $a_{n}^{2} + b_{n}^{2} - c_{n}^{2}$ になり，帰納法が通る。(2)は $a_{n}, b_{n}$ が0以上で $a_{n}^{2} + b_{n}^{2} = c_{n}^{2}$ を満たすことから， $a_{n} + b_{n} ≧ c_{n}$ と $a_{n} + b_{n} ≦ \sqrt{2} c_{n}$ を使う。(3)は $c_{n} = c_{n + 1}$ の等号条件が $a_{n} b_{n} = 0$ であることを使い，停止直前の比を $x = a_{m} / c_{m}$ ， $y = b_{m} / c_{m}$ で解く。

解答

(1) $n$ 番目で $a_{n}^{2} + b_{n}^{2} = c_{n}^{2}$ が成り立つと仮定する。絶対値の中身を $u = 2 c_{n} - a_{n} - 2 b_{n}, v = 2 c_{n} - 2 a_{n} - b_{n}$ とおく。このとき $a_{n + 1}^{2} + b_{n + 1}^{2} = u^{2} + v^{2}$ である。また $c_{n + 1} = 3 c_{n} - 2 a_{n} - 2 b_{n}$ である。

直接展開すると $\begin{aligned} u^{2} + v^{2} - c_{n + 1}^{2} \\ = (2 c_{n} - a_{n} - 2 b_{n})^{2} + (2 c_{n} - 2 a_{n} - b_{n})^{2} - (3 c_{n} - 2 a_{n} - 2 b_{n})^{2} \\ = a_{n}^{2} + b_{n}^{2} - c_{n}^{2} . \end{aligned}$ 帰納法の仮定より右辺は0である。したがって $a_{n + 1}^{2} + b_{n + 1}^{2} = c_{n + 1}^{2}$ である。

初めに $a_{1}^{2} + b_{1}^{2} = c_{1}^{2}$ が成り立っているので，数学的帰納法により，すべての正整数 $n$ について $a_{n}^{2} + b_{n}^{2} = c_{n}^{2}$ が成り立つ。

(2)
(1)より，各 $n$ について $a_{n}^{2} + b_{n}^{2} = c_{n}^{2}$ である。また $a_{n}, b_{n}$ は絶対値で定義されるので0以上である。

まず $(a_{n} + b_{n})^{2} = a_{n}^{2} + b_{n}^{2} + 2 a_{n} b_{n} = c_{n}^{2} + 2 a_{n} b_{n} ≧ c_{n}^{2}$ であるから $a_{n} + b_{n} ≧ c_{n}$ である。したがって $c_{n} - c_{n + 1} = c_{n} - (3 c_{n} - 2 a_{n} - 2 b_{n}) = 2 (a_{n} + b_{n} - c_{n}) ≧ 0$ となり $c_{n} ≧ c_{n + 1}$ である。

次に $c_{n} > 0$ を示す。初めは仮定より $c_{1} > 0$ である。 $c_{n} > 0$ とすると， $(a_{n} + b_{n})^{2} ≦ 2 (a_{n}^{2} + b_{n}^{2}) = 2 c_{n}^{2}$ だから $a_{n} + b_{n} ≦ \sqrt{2} c_{n}$ である。よって $c_{n + 1} = 3 c_{n} - 2 (a_{n} + b_{n}) ≧ (3 - 2 \sqrt{2}) c_{n}$ である。ここで $3 - 2 \sqrt{2} > 0$ なので $c_{n + 1} > 0$ である。したがって帰納法により $c_{n} > 0$ もすべての $n$ で成り立つ。

(3)
まず，どのようなときに $c_{n} = c_{n + 1}$ となるかを調べる。(2)の計算より $c_{n} - c_{n + 1} = 2 (a_{n} + b_{n} - c_{n})$ であるから，等号 $c_{n} = c_{n + 1}$ は $a_{n} + b_{n} = c_{n}$ と同値である。このとき $a_{n}^{2} + b_{n}^{2} = c_{n}^{2}$ も成り立つので $(a_{n} + b_{n})^{2} = a_{n}^{2} + b_{n}^{2}$ である。展開して $a_{n}^{2} + 2 a_{n} b_{n} + b_{n}^{2} = a_{n}^{2} + b_{n}^{2}$ となるから $a_{n} b_{n} = 0$ である。 $c_{n} > 0$ も合わせると，等号が起こるときの比は $a_{n} : b_{n} : c_{n} = 0 : 1 : 1 または 1 : 0 : 1$ である。

いま $c_{m} > c_{m + 1} = c_{m + 2}$ とする。すると $n = m + 1$ で等号が起こるので $a_{m + 1} : b_{m + 1} : c_{m + 1} = 0 : 1 : 1 または 1 : 0 : 1$ である。 $x = \frac{a_{m}}{c_{m}}$ ， $y = \frac{b_{m}}{c_{m}}$ とおく。 $a_{m}, b_{m}$ は正なので $x > 0, y > 0$ であり，(1)より $x^{2} + y^{2} = 1$ である。

まず次の比が $0 : 1 : 1$ になる場合を考える。このとき $a_{m + 1} = 0$ だから $2 c_{m} - a_{m} - 2 b_{m} = 0$ である。 $c_{m}$ で割ると $2 - x - 2 y = 0$ である。これと $x^{2} + y^{2} = 1$ を連立する。 $x = 2 - 2 y$ を代入して $(2 - 2 y)^{2} + y^{2} = 1$ すなわち $5 y^{2} - 8 y + 3 = 0$ である。よって $y = 1, \frac{3}{5}$ である。 $y = 1$ では $x = 0$ となり， $a_{m} > 0$ に反する。したがって $x = \frac{4}{5}, y = \frac{3}{5}$ である。

次の比が $1 : 0 : 1$ になる場合は，同様に $b_{m + 1} = 0$ だから $2 c_{m} - 2 a_{m} - b_{m} = 0$ であり， $2 - 2 x - y = 0, x^{2} + y^{2} = 1$ を解けば $x = \frac{3}{5}, y = \frac{4}{5}$ を得る。

以上より $a_{m} : b_{m} : c_{m} = 4 : 3 : 5 または 3 : 4 : 5$ である。実際，これらの比では $x + y = \frac{7}{5}$ なので $c_{m + 1} = (3 - 2 x - 2 y) c_{m} = \frac{1}{5} c_{m}$ となり， $c_{m} > c_{m + 1}$ も満たしている。

総評

ピタゴラス型の関係を保つ変換と，減少列の等号条件を組み合わせる難問である。目安時間は30分以上。(1)は絶対値に惑わされず，平方して中身を展開するのが最短である。(2)では $a_{n} + b_{n} ≧ c_{n}$ と $a_{n} + b_{n} ≦ \sqrt{2} c_{n}$ の両方を使い，減少性と正性を分けて示す。(3)は等号条件から $0 : 1 : 1$ ， $1 : 0 : 1$ に落とし，その直前の比を円 $x^{2} + y^{2} = 1$ と直線で求める。途中で $a_{m}, b_{m} > 0$ に反する解を除くことが重要である。

出典: 京都大学 1992年度前期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

京都大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

方針

解答

総評

京都大学 1992年度前期日程第2次学力試験理系数学第6問