京都大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

行列の積を成分で書くと$$x^{\mathrm{\prime }}=2x-3y,y^{\mathrm{\prime }}=2y-x$$である。直接計算して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {x^{\mathrm{\prime }}}^2-3{y^{\mathrm{\prime }}}^2}& {\displaystyle =(2x-3y{)}^2-3(2y-x{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x^2-3y^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1}\end{array}$$を得る。

また $x^2=3y^2+1$、$x>0$、$y\geqq 1$ だから$$x>\sqrt{3}y>y$$である。一方$$x^2=3y^2+1\leqq 4y^2$$より $x\leqq 2y$ である。したがって$$0\leqq 2y-x<y$$すなわち $0\leqq y^{\mathrm{\prime }}<y$ である。

(2)

$x,y$ が自然数で $x^2-3y^2=1$ を満たすとする。$y\geqq 1$ の間は (1) により、変換後も同じ方程式を満たし、第2成分は非負整数のまま真に小さくなる。

反復を続けるため、第1成分が正であることも確認する。$$x^2-{\left(\frac{3}{2}y\right)}^2=\frac{3}{4}{y}^2+1>0$$かつ $x>0$ だから $x>3y\mathrm{/}2$ であり、$$x^{\mathrm{\prime }}=2x-3y>0$$である。

非負整数は無限に真に減少できないため、有限回の変換で第2成分は0になる。そのとき第1成分を $X>0$ とすれば、保存された等式から$$X^2=1$$であるから $X=1$ である。よって、ある非負整数 $n$ に対して$$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=A^n\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$が成り立つ。出発時に $y>0$ とする自然数の約束では $n\geqq 1$ である。

組 $(x,y)$ を数 $x+y\sqrt{3}$ で表す。$2-\sqrt{3}$ を掛けると係数がちょうど $x^{\mathrm{\prime }}=2x-3y,y^{\mathrm{\prime }}=2y-x$ になり、共役な積から $x^2-3y^2$ が保存される。(1) の大小評価で $\sqrt{3}$ の係数 $y$ が非負整数のまま減ることを示し、反復の停止点を方程式から決める。

(1) $$(x+y\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=(2x-3y)+(2y-x)\sqrt{3}$$である。したがって、右辺の有理数部分と $\sqrt{3}$ の係数がそれぞれ $x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }}$ である。

共役な式も掛け合わせると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {x^{\mathrm{\prime }}}^2-3{y^{\mathrm{\prime }}}^2}& {\displaystyle =\{(x+y\sqrt{3})(2-\sqrt{3})\}\{(x-y\sqrt{3})(2+\sqrt{3})\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x^2-3y^2)(2^2-3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1}\end{array}$$となる。

$x^2=3y^2+1$ と $y\geqq 1$ から$$\sqrt{3}y<x\leqq 2y$$である。また $x>\sqrt{3}y>y$ でもある。よって$$0\leqq 2y-x<y$$となり、$0\leqq y^{\mathrm{\prime }}<y$ が示された。

(2)

$x+y\sqrt{3}$ に $2-\sqrt{3}$ を1回掛ける操作が、問題の行列 $A$ を1回作用させることに対応する。(1) により、$y>0$ の間は $\sqrt{3}$ の係数が非負整数のまま真に減少する。また$$x>\frac{3}{2}y$$より新しい有理数部分 $2x-3y$ は正である。

したがって有限回後に $\sqrt{3}$ の係数は0になる。そのとき得られた正の整数を $X$ とすれば、保存式から $X^2=1$、よって $X=1$ である。ゆえに、ある非負整数 $n$ について$$(x+y\sqrt{3})(2-\sqrt{3}{)}^n=1$$となる。係数を比較すれば$$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=A^n\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$である。