京都大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

角 $B$ の両側の辺が $a,c$、対辺が $b$ であるから、余弦定理より $$b^2=a^2+c^2-2ac\cos {60}^{\circ }=a^2-ac+c^2$$ である。これを $a$ について整理すると $a^2-ca+(c^2-b^2)=0$ である。$a$ は素数なので整数であり、この2次方程式の判別式 $$\mathrm{\Delta }=c^2-4(c^2-b^2)=4b^2-3c^2$$ は平方数でなければならない。そこで $$4b^2-3c^2=k^2(k\geqq 0)$$ とおくと $(2b-k)(2b+k)=3c^2$ である。

まず $c=2$ の場合を考える。このとき右辺は $12$ であり、$2b-k$ と $2b+k$ は同じ偶奇で正だから、可能な組は $2b-k=2,2b+k=6$ だけである。よって $b=2$、$k=2$ となり、$$a=\frac{c+k}{2}=2$$ である。したがって $a=b=c=2$ である。

次に $c$ が奇素数の場合を考える。このとき $2b-k$ と $2b+k$ はともに奇数で、積は $3c^2$ である。大小を考えて $2b-k\leqq 2b+k$ とすれば、候補は $$(2b-k,2b+k)=(1,3c^2),(3,c^2),(c,3c)$$ に限られる。 $1,3c^2$ の場合、$$k=\frac{3c^2-1}{2}$$ であるから、正の根は $$a=\frac{c+k}{2}=\frac{(3c-1)(c+1)}{4}$$ となる。$c$ は奇素数なので、右辺は $1$ より大きい二つの整数の積になり、$a$ が素数であることに反する。 $3,c^2$ の場合も同様に $$a=\frac{c+k}{2}=\frac{(c+3)(c-1)}{4}$$ である。$c>3$ なら右辺は $1$ より大きい二つの整数の積で、$a$ は素数でない。$c=3$ のときはこの組は次の $(c,3c)$ と同じである。

したがって残るのは $2b-k=c,2b+k=3c$ である。このとき $b=c,k=c$ となり、2次方程式の根は $$a=\frac{c+k}{2}=c$$ である。よって $a=b=c$ が成り立つ。したがって三角形 $ABC$ は正三角形である。