京都大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

(1)
$n$が7の倍数なら$$n^7\equiv n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$$である。7の倍数でなければフェルマーの小定理から$n^6\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$なので、やはり$n^7\equiv n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$である。従って$f(n^7)=f(n)$。
(2)
$n=6$を選ぶ。$k=1,2,\dots ,6$について$k^6\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$、$7^6\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$だから$$\sum _{k=1}^7{k}^6\equiv 6(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)\mathrm{.}$$従って$$g(6)=3f\left(\sum _{k=1}^7{k}^6\right)=3\cdot 6=18.$$なお$f$の値は0から6なので、18はこの設問で得られる最大得点でもある。

7を法とする非零剰余の3倍巡回

(1) は7個の剰余を直接確認する。(2)では非零剰余全体を3倍しても
並べ替わることを使い、べき和が0になる場合と6になる場合を分類する。
最高得点になる指数を選ぶ。

(1)

$n$ の7による余りを $r$ とする。$r=0$ なら$$r^7\equiv r\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$$ である。$r=1,\dots ,6$ なら
フェルマーの小定理より $r^6\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$ だから$$r^7\equiv r(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)\mathrm{.}$$よって $n^7\equiv n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$、すなわち$$f(n^7)=f(n)\mathrm{.}$$(2)$$S_n=\sum _{k=1}^6{k}^n$$とおく。非零剰余 $1,\dots ,6$ は3倍しても並べ替わるので$$S_n\equiv 3^n{S}_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)\mathrm{.}$$$3$ の7を法とする位数は6である。したがって $6\nmid n$
なら $3^n\equiv ̸1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$ となる場合に $S_n\equiv 0$ である。
一方 $6\mid n$ なら各 $k^n\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$ だから$$S_n\equiv 6(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)\mathrm{.}$$そこで $n=6$ を選ぶ。$7^6\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$ も合わせて$$f\left(\sum _{k=1}^7{k}^6\right)=6.$$よって$$g(6)=3\cdot 6=18.$$$f$ の値は0から6なので、これは可能な最高得点でもある。