京都大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第5問

(1) $N=5$ のとき、1回目の出目が $1$ または $6$ なら $X=1$ である。したがって $P(X=1)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ である。

次に $Y=2$ となる場合を数える。2回の出目の和が $5$ で割って $2$ 余ればよい。和は $2$、$7$、$12$ のいずれかであり、それぞれの出方の数は $1,6,1$ であるから、合計 $8$ 通りである。よって $$P(Y=2)=\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$$ である。

一方、$X=1$ かつ $Y=2$ となるには、1回目の出目が $1$ または $6$ で、2回目の出目も $5$ で割って $1$ 余る必要がある。したがって出方は $2\cdot 2=4$ 通りで、$$P(X=1,Y=2)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$$ である。ところが $$P(X=1)P(Y=2)=\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{9}=\frac{2}{27}$$ であり、これは $\frac{1}{9}$ と等しくない。よって $N=5$ のとき $X,Y$ は独立でない。

(2) $N=6$ のとき、1回の出目は法 $6$ で $0,1,2,3,4,5$ の各剰余をちょうど1回ずつとる。したがって $$P(X=i)=\frac{1}{6}(0\leqq i\leqq 5)$$ である。

また、$X=i$ が分かっているとき、2回目の出目の剰余を加えることで $Y$ が決まる。2回目の出目の剰余も $0,1,2,3,4,5$ を一様にとるので、任意の $j$ について $P(Y=j\mid X=i)=\frac{1}{6}$ である。よって $P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)$ がすべての $i,j$ について成り立つ。したがって $N=6$ のとき $X,Y$ は独立である。