京都大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
まず $f(x)-1=(x-1{)}^3+(x-1)$ である。したがって $x=1$ のとき $f(1)=1$ であり、グラフは点 $(1,1)$ を通る。

また $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3(x-1{)}^2+1>0$ であるから、$y=f(x)$ は全体で単調に増加する。さらに $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6(x-1)$ なので、$x<1$ では上に凸、$x>1$ では下に凸であり、$(1,1)$ が変曲点である。したがって、グラフは点 $(1,1)$ を通り、そこで傾き $1$ をもち、全体として増加するS字型になる。

(2)
任意の実数 $x$ について $f(x)-x=(x-1{)}^3$ である。

まず $x>1$ とする。このとき $f(x)>x$ であり、特に $f(x)>1$ である。数列 $x_0=x$、$x_{k+1}=f(x_k)$ を考えると、$x_k>1$ である限り $x_{k+1}-x_k=(x_k-1{)}^3>0$ である。よって帰納的に $$x_n>x_{n-1}>\cdots >x_1>x_0=x$$ となり、$f_n(x)=x$ は成り立たない。

次に $x<1$ とする。このとき $f(x)<x$ であり、特に $f(x)<1$ である。同じく $x_{k+1}=f(x_k)$ とおくと、$x_k<1$ である限り $x_{k+1}-x_k=(x_k-1{)}^3<0$ である。したがって $$x_n<x_{n-1}<\cdots <x_1<x_0=x$$ となり、この場合も $f_n(x)=x$ は成り立たない。

最後に $x=1$ では $f(1)=1$ であるから、すべての $n$ について $f_n(1)=1$ である。以上より、どんな $n\geqq 1$ についても $f_n(x)=x$ の解は $x=1$ に限られる。