京都大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

点 $P$ を $(p,p^3-p)$（$p>1$）、点 $P^{\mathrm{\prime }}$ を $(-q,q-q^3)$（$0<q<1$）とおく。直線 $OP,O{P}^{\mathrm{\prime }}$ の傾きはそれぞれ $p^2-1,q^2-1$ である。直交条件より$$(p^2-1)(q^2-1)=-1$$となる。$A=p^2-1$ とおけば $A>1$ であり、$$q^2=1-\frac{1}{A}=\frac{A-1}{A}$$、$p^2=A+1$ を得る。

直線 $OP$ は $y=(p^2-1)x$ であるから$$S={\int }_0^p\{(p^2-1)x-(x^3-x)\}dx={\int }_0^p(p^{2}x-x^3)dx=\frac{p^4}{4}\mathrm{.}$$同様に$$S^{\mathrm{\prime }}={\int }_{-q}^0\{(x^3-x)-(q^2-1)x\}dx=\frac{q^4}{4}\mathrm{.}$$したがって$$\frac{S}{S^{\mathrm{\prime }}}={\left(\frac{p^2}{q^2}\right)}^2={\left(\frac{A(A+1)}{A-1}\right)}^2\mathrm{.}$$$$g(A)=\frac{A(A+1)}{A-1}$$ とおくと$$g^{\mathrm{\prime }}(A)=\frac{A^2-2A-1}{(A-1{)}^2}\mathrm{.}$$$A>1$ では $A=1+\sqrt{2}$ の前後で $g$ は減少から増加へ変わる。よって$$g_{\min }=3+2\sqrt{2}$$であり、求める最小値は$${\displaystyle (3+2\sqrt{2}{)}^2=17+12\sqrt{2}}$$である。