京都大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $f(x)=x^3-ax$ とおく。$P$ の $x$ 座標を $c$ とすると $P=(c,c^3-ac)$ であり、$P$ における接線 $T_P$ は $y=f(c)+f^{\mathrm{\prime }}(c)(x-c)$ である。ここで $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-a$ だから、曲線と接線の共有点の $x$ 座標は $f(x)-f(c)-f^{\mathrm{\prime }}(c)(x-c)=0$ を満たす。

左辺を計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)-f(c)-f^{\mathrm{\prime }}(c)(x-c)}& {\displaystyle =x^3-ax-(c^3-ac)-(3c^2-a)(x-c)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x^3-3c^{2}x+2c^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x-c{)}^2(x+2c)}\end{array}$$である。したがって、接点 $x=c$ のほかに現れる交点の $x$ 座標は $x=-2c$ である。$c=0$ のときはこの値も $c$ と一致し、問題の定義どおり $Q=P$ である。

よって $$Q=(-2c,f(-2c))=(-2c,-8c^3+2ac)$$ である。

(2) $T_P$ の傾きは $f^{\mathrm{\prime }}(c)=3c^2-a$ である。また、$Q$ の $x$ 座標は $-2c$ だから、$Q$ における接線の傾きは $f^{\mathrm{\prime }}(-2c)=12c^2-a$ である。2本の接線が直交する条件は、傾きの積が $-1$ であることなので $(3c^2-a)(12c^2-a)=-1$ である。 $t=c^2(t\geqq 0)$ とおくと、これは $(3t-a)(12t-a)=-1$ すなわち $36t^2-15at+a^2+1=0$ となる。この2次方程式の判別式は $$\mathrm{\Delta }=(-15a{)}^2-4\cdot 36(a^2+1)=81a^2-144$$ である。

まず $a\leqq 0$ のとき、$t\geqq 0$ に対して $36t^2-15at+a^2+1>0$ であるから解はない。次に $0<a<4\mathrm{/}3$ のときは $\mathrm{\Delta }<0$ なので実数解はない。したがって $a<4\mathrm{/}3$ では条件を満たす $t$ はない。 $a=4\mathrm{/}3$ のときは $\mathrm{\Delta }=0$ で、重解は $$t=\frac{15a}{72}=\frac{5}{18}$$ である。これは正であるから、$$c=\pm \sqrt{5\mathrm{/}18}$$ の2通りが得られる。 $a>4\mathrm{/}3$ のときは $\mathrm{\Delta }>0$ である。また2つの解の和と積は $$\frac{15a}{36}>0,\frac{a^2+1}{36}>0$$ であるから、2つの $t$ の解はいずれも正である。各正の $t$ に対して $$c=\pm \sqrt{t}$$ の2通りがあるので、$c$ は合計4通りである。 $P$ は $c$ によって一意に決まる。したがって求める個数は$$\{\begin{array}{ll}0& (a<4\mathrm{/}3),\\ 2& (a=4\mathrm{/}3),\\ 4& (a>4\mathrm{/}3)\end{array}$$である。