京都大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1)

まず，$x=0$ を与えられた等式に代入する。左辺は $0$ であるから $${\int }_a^{f(0)}(e^{-t^2\mathrm{/}2}+t^{-a})dt=0$$ である。被積分関数は $t>0$ で正であり，また $f(0)>0$ なので $f(0)=a$ でなければならない。

次に，等式の両辺を $x$ で微分する。左辺は $$\frac{d}{dx}{\int }_0^{x}f(t{)}^{-a}dt=f(x{)}^{-a}$$ である。右辺は上端が $f(x)$ であるから $(e^{-f(x{)}^2\mathrm{/}2}+f(x{)}^{-a})f^{\mathrm{\prime }}(x)$ となる。よって $$f(x{)}^{-a}=(e^{-f(x{)}^2\mathrm{/}2}+f(x{)}^{-a})f^{\mathrm{\prime }}(x)$$ である。両辺を $f(x{)}^{-a}$ で割ると $$1=(f(x{)}^a{e}^{-f(x{)}^2\mathrm{/}2}+1)f^{\mathrm{\prime }}(x)$$ だから $${\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{1+f(x{)}^a{e}^{-f(x{)}^2\mathrm{/}2}}}$$ を得る。

(2)

この式から直ちに $0<f^{\mathrm{\prime }}(x)\leqq 1$ が分かる。さらに $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ より $f(x)$ は増加し，$f(0)=a$ だから $$f(x)\geqq a(x\geqq 0)$$ である。関数 $$u^a{e}^{-u^2\mathrm{/}2}(u\geqq a)$$ は $u\to \mathrm{\infty }$ で $0$ に近づき，閉区間ごとに連続であるから，上に有界である。その上界を $M$ とすれば $$0\leqq f(x{)}^a{e}^{-f(x{)}^2\mathrm{/}2}\leqq M$$ である。したがって $$\frac{1}{1+M}\leqq f^{\mathrm{\prime }}(x)\leqq 1$$ が成り立つ。よって $$b=\frac{1}{1+M}$$ とおけば，条件を満たす正の定数 $b$ が存在する。

また $$\frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(x)}-1=f(x{)}^a{e}^{-f(x{)}^2\mathrm{/}2}$$ であるから $$f(x)(\frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(x)}-1)=f(x{)}^{a+1}{e}^{-f(x{)}^2\mathrm{/}2}$$ である。関数 $$u^{a+1}{e}^{-u^2\mathrm{/}2}(u\geqq a)$$ も上に有界であるから，その上界を $c$ とすれば $$0\leqq f(x)(\frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(x)}-1)\leqq c$$ が成り立つ。

(3)

次に極限を求める。上で得た $f^{\mathrm{\prime }}(x)\geqq b>0$ より $f(x)\geqq f(0)+bx=a+bx$ であるから，$x\to \mathrm{\infty }$ のとき $f(x)\to \mathrm{\infty }$ である。したがって $f(x{)}^a{e}^{-f(x{)}^2\mathrm{/}2}\to 0$ となり，$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{1+f(x{)}^a{e}^{-f(x{)}^2\mathrm{/}2}}$$ から $${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)=1}$$ を得る。

最後に $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ の最小値を求める。$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ は $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{1+u^a{e}^{-u^2\mathrm{/}2}},u=f(x)$$ の形であり，$f(x)$ は $a$ から増加して $\mathrm{\infty }$ まで動く。したがって $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ の最小値は，$u\geqq a$ における $u^a{e}^{-u^2\mathrm{/}2}$ の最大値から決まる。 $\varphi (u)=u^a{e}^{-u^2\mathrm{/}2}$ とおく。$u>0$ で $$\frac{{\varphi }^{\mathrm{\prime }}(u)}{\varphi (u)}=\frac{a}{u}-u=\frac{a-u^2}{u}$$ である。したがって $\varphi (u)$ は $$0<u<\sqrt{a}$$ で増加し，$$u>\sqrt{a}$$ で減少する。 $0<a\leqq 1$ のときは $$a\leqq \sqrt{a}$$ であるから，区間 $u\geqq a$ における最大値は $$u=\sqrt{a}$$ で $$\varphi (\sqrt{a})=(\sqrt{a}{)}^a{e}^{-a\mathrm{/}2}=a^{a\mathrm{/}2}{e}^{-a\mathrm{/}2}$$ である。よってこの場合の $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ の最小値は ${\displaystyle \frac{1}{1+a^{a\mathrm{/}2}{e}^{-a\mathrm{/}2}}}$ である。

一方，$a\geqq 1$ のときは $$a\geqq \sqrt{a}$$ であり，区間 $u\geqq a$ では $\varphi (u)$ は減少する。したがって最大値は $u=a$ で $\varphi (a)=a^a{e}^{-a^2\mathrm{/}2}$ である。よってこの場合の $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ の最小値は ${\displaystyle \frac{1}{1+a^a{e}^{-a^2\mathrm{/}2}}}$ である。$a=1$ では二つの式はいずれも $\frac{1}{1+e^{-1\mathrm{/}2}}$ となり一致する。