京都大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第5問

点 $A,B,C$ の位置ベクトルを $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ とする。半径が1だから$$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }=1.$$中点 $P$ の位置ベクトルは $(\vec{b}+\vec{c})\mathrm{/}2$ である。

3本とも長さが $1\mathrm{/}2$ 未満であると仮定する。すると$$\mid {\displaystyle \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}}\mid <{\displaystyle \frac{1}{2}}$$より $\mathrm{\mid }\vec{b}+\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2<1$、従って$$2+2\vec{b}\cdot \vec{c}<1,\vec{b}\cdot \vec{c}<-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$同様に$$\vec{c}\cdot \vec{a}<-{\displaystyle \frac{1}{2}},\vec{a}\cdot \vec{b}<-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$したがって$$\mathrm{\mid }\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2=3+2(\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{c}\cdot \vec{a})<0$$となり矛盾する。よって $OP,OQ,OR$ の少なくとも1本は長さ $1\mathrm{/}2$ 以上である。

3中点への距離の2乗の和を計算する。位置ベクトルの和の長さの2乗を用いると平均が少なくとも$1\mathrm{/}4$と分かり、最大の1本を評価できる。

点$A,B,C$の位置ベクトルを$\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c}$とする。いずれも長さ1である。中点の位置ベクトルから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle O{P}^2+O{Q}^2+O{R}^2=}& {\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{4}}\{\mid \mathit{b}+\mathit{c}{\mid }^2+\mid \mathit{c}+\mathit{a}{\mid }^2+\mid \mathit{a}+\mathit{b}{\mid }^2\}}\\ {\displaystyle =}& {\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{4}}\{6+2(\mathit{a}\cdot \mathit{b}+\mathit{b}\cdot \mathit{c}+\mathit{c}\cdot \mathit{a})\}\mathrm{.}}\end{array}$$一方、$$\mid \mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{c}{\mid }^2=3+2(\mathit{a}\cdot \mathit{b}+\mathit{b}\cdot \mathit{c}+\mathit{c}\cdot \mathit{a})\geqq 0.$$よって$$O{P}^2+O{Q}^2+O{R}^2={\displaystyle \frac{3+\mid \mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{c}{\mid }^2}{4}}\geqq {\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$3個の平方の少なくとも1個は$1\mathrm{/}4$以上なので、$$\max \{OP,OQ,OR\}\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$