京都大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

まず $c_1\mathrm{\ne }{c}_2$ とする。$x=-c_1$ の両側で第1の分数だけが発散する。すべての定義点で同じ向きの不等式が成り立つには、その分子が $x=-c_1$ で0でなければならない。従って$$b_1=a_1{c}_1\mathrm{.}$$同様に $x=-c_2$ から $b_2=a_2{c}_2$ が必要である。このとき各分数は定義域でそれぞれ定数 $a_1,a_2$ となるから、さらに $a_1>a_2$ が必要十分である。

次に $c_1=c_2=c$ とする。差は$${\displaystyle \frac{(a_1-a_2)x+(b_1-b_2)}{x+c}}\mathrm{.}$$これがすべての $x\mathrm{\ne }-c$ で正となるには、分子が分母の正の定数倍であることが必要十分である。従って$$a_1>a_2,b_1-b_2=(a_1-a_2)c\mathrm{.}$$以上より必要十分条件は$$\{\begin{array}{l}{c}_1\mathrm{\ne }{c}_2,b_1=a_1{c}_1,b_2=a_2{c}_2,a_1>a_2,\\ \text{または}\\ c_1=c_2=c,a_1>a_2,b_1-b_2=(a_1-a_2)c\end{array}$$である。

2つの分数の差を通分する。分母の符号が極を通るたび変わるため、分子も同じ極で零にならなければならないことを符号表から導き、係数を比較する。

差を通分して$${\displaystyle \frac{D(x)}{(x+c_1)(x+c_2)}}$$と書く。ただし$$D(x)=(a_{1}x+b_1)(x+c_2)-(a_{2}x+b_2)(x+c_1)\mathrm{.}$$$c_1\mathrm{\ne }{c}_2$とする。分母は$x=-c_1,-c_2$を通るたび符号を変える。商がすべての定義点で正なら、連続な多項式$D(x)$も両点で零となり、分母と同じ符号変化をしなければならない。よって$$D(-c_1)=0,D(-c_2)=0.$$これらは$$b_1=a_1{c}_1,b_2=a_2{c}_2$$と同値である。このとき$$D(x)=(a_1-a_2)(x+c_1)(x+c_2)$$だから、商が正である条件は$a_1>a_2$である。

$c_1=c_2=c$なら差は$${\displaystyle \frac{(a_1-a_2)x+b_1-b_2}{x+c}}\mathrm{.}$$分子と分母が同じ点で符号を変え、商が常に正となる必要十分条件は、ある$K>0$について分子が$K(x+c)$に等しいことである。したがって$$a_1>a_2,b_1-b_2=(a_1-a_2)c\mathrm{.}$$結論は$$\{\begin{array}{l}{c}_1\mathrm{\ne }{c}_2,b_1=a_1{c}_1,b_2=a_2{c}_2,a_1>a_2,\\ \text{または}\\ c_1=c_2=c,a_1>a_2,b_1-b_2=(a_1-a_2)c\mathrm{.}\end{array}$$