京都大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1) $1\leqq a<d\leqq n$ のもとで両端を固定する。

(2) $a\leqq b<d$ から $b$ の選択数を数える。

(3) $a<c\leqq d$ から $c$ の選択数を数える。

$a,d$ を先に固定する。条件(1)より $1\leqq a<d\leqq n$ である。ここで $m=d-a$ とおくと、$m$ は $1,2,\dots ,n-1$ のいずれかである。

差 $m$ を固定すると、$d=a+m\leqq n$ だから $a=1,2,\dots ,n-m$ であり、$(a,d)$ の選び方は $n-m$ 通りである。

次に $b,c$ の選び方を数える。条件(2)より $a\leqq b<d=a+m$ であるから、$b$ は $a,a+1,\dots ,a+m-1$ の $m$ 通りである。また条件(3)より $a<c\leqq d=a+m$ であるから、$c$ は $a+1,a+2,\dots ,a+m$ の $m$ 通りである。$b$ と $c$ は互いに独立に選べるので、固定した $(a,d)$ に対して $(b,c)$ は $m^2$ 通りである。

したがって求める個数は $$\sum _{m=1}^{n-1}(n-m)m^2$$ である。これを計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{m=1}^{n-1}(n-m)m^2}& {\displaystyle =n\sum _{m=1}^{n-1}{m}^2-\sum _{m=1}^{n-1}{m}^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =n\cdot {\displaystyle \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}}-{\left\{{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}\right\}}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n^2(n-1)(2n-1)}{6}}-{\displaystyle \frac{n^2(n-1{)}^2}{4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n^2(n-1)(n+1)}{12}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって答えは ${\displaystyle \frac{n^2(n-1)(n+1)}{12}}$ である。

$(a,d)$ を先に動かし、各組に対する $(b,c)$ の個数を $(d-a{)}^2$ と書く。二重和を差 $m=d-a$ ごとにまとめる。

(1) $a<d$ を満たす両端を取る。

(2) $b$ の範囲には $d-a$ 個の整数がある。

(3) $c$ の範囲にも $d-a$ 個の整数がある。

$1\leqq a<d\leqq n$ を固定すると、$$a\leqq b<d,a<c\leqq d$$より $b$、$c$ はそれぞれ $d-a$ 通りに選べる。したがって個数は$$\sum _{1\leqq a<d\leqq n}(d-a{)}^2\mathrm{.}$$ここで $m=d-a$ とすると、差が $m$ である $(a,d)$ は $n-m$ 組あるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{m=1}^{n-1}(n-m)m^2}& {\displaystyle =n\sum _{m=1}^{n-1}{m}^2-\sum _{m=1}^{n-1}{m}^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n^2(n-1)(n+1)}{12}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって求める個数は$${\displaystyle \frac{n^2(n-1)(n+1)}{12}}$$である。