京都大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

条件は$$a^{x-1}\geqq x(x>0)$$と同値である。対数を取って$$F(x)=(x-1)\log a-\log x$$とおくと、すべての $x>0$ で $F(x)\geqq 0$ かつ $F(1)=0$ である。従って $x=1$ は極小点であり、$$F^{\mathrm{\prime }}(1)=\log a-1=0.$$よって必要条件は $a=e$ である。

逆に $a=e$ のとき、示すべき式は $e^{x-1}\geqq x$ である。$H(x)=e^{x-1}-x$ とおけば$$H^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{x-1}-1$$なので $x=1$ で最小値0をとる。従ってすべての正数 $x$ で成立する。求める定数は$$a=e$$だけである。

条件を$a^{x-1}\geqq x$へ直し、$x>1$と$0<x<1$でそれぞれ$a$の上下界を取る。$x\to 1$の極限で必要値を挟み、基本不等式で十分性を確認する。

条件は$$a^{x-1}\geqq x(x>0)$$と同値である。$x>1$では正の$x-1$乗根を取って$$a\geqq x^{1\mathrm{/}(x-1)}\mathrm{.}$$$x\to 1+0$とすると$$a\geqq e\mathrm{.}$$一方$0<x<1$では指数$x-1$が負なので、$$a\leqq x^{1\mathrm{/}(x-1)}\mathrm{.}$$$x\to 1-0$として$$a\leqq e\mathrm{.}$$ゆえに必要条件は$a=e$である。

逆に$a=e$とする。関数$$\varphi (x)=x-1-\log x$$は$${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)=1-{\displaystyle \frac{1}{x}}$$より$x=1$で最小値0を取る。したがって$\log x\leqq x-1$、すなわち$$x\leqq e^{x-1}\mathrm{.}$$よって条件はすべての$x>0$で成り立つ。結論は$$a=e$$だけである。