京都大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

円の接線を $y=px+q$ とおく。円の中心は $(0,a)$ であるから、中心から直線 $px-y+q=0$ までの距離が $r$ であることより $${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }q-a\mathrm{\mid }}{\sqrt{p^2+1}}}=r$$ である。したがって $$q=a\pm r\sqrt{p^2+1}$$ である。

同じ傾き $p$ なら、$q$ が小さいほど放物線 $y=x^2$ との囲む面積は小さくなる。よって最小値を考えるには $$q=a-r\sqrt{p^2+1}$$ だけを扱えばよい。

直線 $y=px+q$ と放物線 $y=x^2$ の交点の $x$ 座標は $x^2-px-q=0$ の2根である。この判別式を $D=p^2+4q$ とおく。2根を $\alpha ,\beta$ とすると、$$\beta -\alpha =\sqrt{D}$$ であり、囲まれる部分の面積は$${\int }_{\alpha }^{\beta }\{px+q-x^2\}dx={\int }_{\alpha }^{\beta }-(x-\alpha )(x-\beta )dx={\displaystyle \frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}}={\displaystyle \frac{D^{3\mathrm{/}2}}{6}}$$である。

したがって、面積を最小にするには $$D=p^2+4a-4r\sqrt{p^2+1}$$ を最小にすればよい。ここで $$u=\sqrt{p^2+1}(u\geqq 1)$$ とおくと $$D=u^2-1+4a-4ru=(u-2r{)}^2+4a-1-4r^2$$ である。 $0<r<1\mathrm{/}2$ のとき、$2r<1$ なので、制約 $u\geqq 1$ のもとでは $u=1$ で最小となる。このとき $$D_{\min }=1-1+4a-4r=4a-4r$$ である。

一方、$r\geqq 1\mathrm{/}2$ のときは $2r\geqq 1$ であり、$u=2r$ が許されるから $D_{\min }=4a-1-4r^2$ である。問題の仮定 $$0<r<{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{4a-1}$$ により、この値は正である。

よって求める面積の最小値は$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{(4a-4r{)}^{3\mathrm{/}2}}{6}}& (0<r<{\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ {\displaystyle \frac{(4a-1-4r^2{)}^{3\mathrm{/}2}}{6}}& ({\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq r<{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{4a-1})\end{array}$$である。

円の下側接線と放物線

接線 $y=px+q$ と放物線の差を平方完成し、囲まれる面積を判別式
$D$ だけで表す。$v=p^2\geqq 0$ を変数として $D(v)$ を微分し、
最小点が端 $v=0$ か内部 $v=4r^2-1$ かを判定する。

円の中心 $(0,a)$ から直線 $px-y+q=0$ までの距離が $r$ だから$$q=a\pm r\sqrt{p^2+1}\mathrm{.}$$面積を小さくするのは下側の接線なので$$q=a-r\sqrt{p^2+1}$$とする。放物線との差は$$px+q-x^2={\displaystyle \frac{D}{4}}-{(x-{\displaystyle \frac{p}{2}})}^2,D=p^2+4q\mathrm{.}$$交点間では $u=x-p\mathrm{/}2$ が$$-\sqrt{D}\mathrm{/}2\leqq u\leqq \sqrt{D}\mathrm{/}2$$ を動くので、面積は$${\int }_{-\sqrt{D}\mathrm{/}2}^{\sqrt{D}\mathrm{/}2}({\displaystyle \frac{D}{4}}-u^2)du={\displaystyle \frac{D^{3\mathrm{/}2}}{6}}\mathrm{.}$$$v=p^2\geqq 0$ とおくと$$D(v)=v+4a-4r\sqrt{v+1},D^{\mathrm{\prime }}(v)=1-{\displaystyle \frac{2r}{\sqrt{v+1}}}\mathrm{.}$$$0<r<1\mathrm{/}2$ なら $D^{\mathrm{\prime }}(v)>0$ だから $v=0$ で最小となり$$D_{\min }=4a-4r\mathrm{.}$$$r\geqq 1\mathrm{/}2$ なら $D^{\mathrm{\prime }}(v)=0$ となる
$v=4r^2-1$ で最小となり$$D_{\min }=4a-1-4r^2\mathrm{.}$$仮定により後者も正である。したがって求める最小面積は$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{(4a-4r{)}^{3\mathrm{/}2}}{6}}& (0<r<{\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ {\displaystyle \frac{(4a-1-4r^2{)}^{3\mathrm{/}2}}{6}}& ({\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq r<{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{4a-1})\mathrm{.}\end{array}$$