京都大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

まず $0<a_n\leqq b_n$ と仮定する。このとき $$a_{n+1}=\sqrt{a_n{b}_n},b_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n+b_n}{2}}$$ である。$a_n\leqq b_n$ だから $a_n^2\leqq a_n{b}_n$ より $$a_n\leqq \sqrt{a_n{b}_n}=a_{n+1}$$ である。また相加平均と相乗平均の関係から $$a_{n+1}=\sqrt{a_n{b}_n}\leqq {\displaystyle \frac{a_n+b_n}{2}}=b_{n+1}$$ であり，さらに $$b_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n+b_n}{2}}\leqq b_n$$ である。したがって $$a_n\leqq a_{n+1}\leqq b_{n+1}\leqq b_n$$ が成り立つ。初めに $0<a_1=a\leqq b=b_1$ であるから，帰納法によりすべての自然数 $n$ で成り立つ。

(2)

定義より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_{n+1}-a_{n+1}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a_n+b_n}{2}}-\sqrt{a_n{b}_n}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a_n+b_n-2\sqrt{a_n{b}_n}}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(\sqrt{b_n}-\sqrt{a_n}{)}^2}{2}}}\end{array}$$である。ここで $$\sqrt{b_n}-\sqrt{a_n}={\displaystyle \frac{b_n-a_n}{\sqrt{b_n}+\sqrt{a_n}}}$$ だから $$b_{n+1}-a_{n+1}={\displaystyle \frac{(b_n-a_n{)}^2}{2(\sqrt{b_n}+\sqrt{a_n}{)}^2}}$$ である。$b_n\geqq a_n>0$ より $\sqrt{b_n}+\sqrt{a_n}\geqq 2\sqrt{a_n}$ なので $2(\sqrt{b_n}+\sqrt{a_n}{)}^2\geqq 8a_n$ である。したがって $$b_{n+1}-a_{n+1}\leqq {\displaystyle \frac{(b_n-a_n{)}^2}{8a_n}}$$ が成り立つ。

(3) $a=100$，$b=900$ のとき $a_1=100,b_1=900$ である。よって $$a_2=\sqrt{100\cdot 900}=300,b_2={\displaystyle \frac{100+900}{2}}=500$$ である。さらに $$a_3=\sqrt{300\cdot 500}=100\sqrt{15},b_3={\displaystyle \frac{300+500}{2}}=400$$ である。

ここで $b_2-a_2=200>4$ であり，また $$b_3-a_3=400-100\sqrt{15}$$ である。$$400-100\sqrt{15}>4$$ は $$\sqrt{15}<{\displaystyle \frac{99}{25}}$$ と同値で，両辺は正であり $$15<{\displaystyle \frac{9801}{625}}$$ が成り立つので，確かに $b_3-a_3>4$ である。

(2) を $n=3$ に用いると $$b_4-a_4\leqq {\displaystyle \frac{(400-100\sqrt{15}{)}^2}{8\cdot 100\sqrt{15}}}$$ である。右辺が4未満であることは $$(400-100\sqrt{15}{)}^2<3200\sqrt{15}$$ を示せばよい。両辺を10000で割ると $$(4-\sqrt{15}{)}^2<{\displaystyle \frac{8}{25}}\sqrt{15}$$ であり，左辺は $31-8\sqrt{15}$ であるから，これは $$31<{\displaystyle \frac{208}{25}}\sqrt{15}$$ と同値である。両辺を2乗すると $$961<{\displaystyle \frac{43264}{625}}\cdot 15$$ であり，右辺は $1038$ より大きいので成り立つ。したがって $b_4-a_4<4$ である。

以上より，$b_n-a_n<4$ を満たす最小の $n$ は $n=4$ である。

相加平均と相乗平均の大小を平方差から直接証明する。
差 $d_n=b_n-a_n$ には厳密な恒等式を作り、平方根の分母を
$a_n$ だけで下から評価する。(3)は第3項まで正確に計算し、
第4項だけ評価式で4未満に落とす。

(1)

$0<a_n\leqq b_n$ とする。まず$$a_{n+1}^2-a_n^2=a_n(b_n-a_n)\geqq 0$$だから $a_n\leqq a_{n+1}$ である。また$$b_{n+1}^2-a_{n+1}^2={\left({\displaystyle \frac{a_n+b_n}{2}}\right)}^2-a_n{b}_n={\displaystyle \frac{(b_n-a_n{)}^2}{4}}\geqq 0$$より $a_{n+1}\leqq b_{n+1}$ である。さらに$$b_n-b_{n+1}={\displaystyle \frac{b_n-a_n}{2}}\geqq 0.$$初期条件 $0<a_1\leqq b_1$ から帰納的に$$a_n\leqq a_{n+1}\leqq b_{n+1}\leqq b_n$$がすべての $n$ で成り立つ。

(2)

$d_n=b_n-a_n$ とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle d_{n+1}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a_n+b_n}{2}}-\sqrt{a_n{b}_n}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(\sqrt{b_n}-\sqrt{a_n}{)}^2}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{d_n^2}{2(\sqrt{b_n}+\sqrt{a_n}{)}^2}}\mathrm{.}}\end{array}$$分母は $8a_n$ 以上なので$$d_{n+1}\leqq {\displaystyle \frac{d_n^2}{8a_n}}\mathrm{.}$$(3)$$(a_1,b_1)=(100,900),(a_2,b_2)=(300,500),$$$$(a_3,b_3)=(100\sqrt{15},400)\mathrm{.}$$$d_2=200>4$ である。また$$d_3=100(4-\sqrt{15})>4$$である。実際、両辺を100で割った不等式は$$\sqrt{15}<99\mathrm{/}25$$ と同値で、平方すれば確かめられる。

一方、(2)と $$a_3=100\sqrt{15}$$ から$$d_4\leqq {\displaystyle \frac{10000(4-\sqrt{15}{)}^2}{800\sqrt{15}}}<4.$$最後の不等式は$$31-8\sqrt{15}<{\displaystyle \frac{8\sqrt{15}}{25}}$$を平方して確認できる。したがって最小の $n$ は$$n=4$$である。