方針
sj=mj2と置く。部分和は狭義増加なのでmjも狭義増加する。最後の差anの上限からmnを挟み、その後すべてのmjを決める。
解答
(1)
sj=mj2とおく。sjは正で狭義増加するから、mjは正整数で1≦m1<m2<⋯<mn.従ってmn≧nである。
一方mn−1≦mn−1だからan=mn2−mn−12≧mn2−(mn−1)2=2mn−1.仮定an≦2nより2mn−1≦2n,従って整数mnはmn≦nである。以上からmn=n、すなわちsn=n2.(2)
n個の狭義増加する正整数m1<m2<⋯<mn=nはmk=k(1≦k≦n)でなければならない。s0=0とおけばak=sk−sk−1=k2−(k−1)2=2k−1.実際、1≦2k−1≦2n−1<2nであり、部分和はk2となるので条件を満たす。
別解
解法2
方針
平方数の平方根を mj とした後、n 個の相異なる正整数を 1,…,mn の中へ入れるという個数の見方を使う。末項の差の上限で mn≦n、個数から mn≧n を得て、両方の等号が成り立つためには平方根列が 1,2,…,n そのものであると結論する。
解答
各部分和をsj=mj2と書く。aj>0 なので1≦m1<m2<⋯<mnは相異なる正整数列である。従って 1,…,mn の中に n 個の相異なる正整数があることからmn≧n.(1)一方、mn−1≦mn−1 なのでan=mn2−mn−12≧mn2−(mn−1)2=2mn−1.an≦2n と合わせると 2mn−1≦2n であり、整数性からmn≦n.(2)(1)(2)よりmn=n,sn=n2.さらに、1,…,n の中から相異なる正整数を増加順に n 個選ぶ方法は一つしかない。よってmj=j(1≦j≦n).s0=0 と置けばaj=sj−sj−1=j2−(j−1)2=2j−1.この列は 1≦aj≦2n−1<2n を満たし、部分和は j2 になるので、確かに条件を満たす。
総評
難度6、計算量3。平方数の平方根を狭義増加整数列として扱うと、最後の1項の上限だけで終点を決定できる。終点までに正整数がちょうどn個並ぶことから全項が連続整数になり、解の一意性も同時に得られる。
冊子PDFで見る京大の数列の問題で問題集を作る
出典: 京都大学 1997年度 後期 理系 第2問。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。
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