京都大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $k=8$ のとき $a_1=0$ であり，$$a_2=\left[{\displaystyle \frac{0+8}{3}}\right]=2$$ $$a_3=\left[{\displaystyle \frac{2+8}{3}}\right]=3$$ $$a_4=\left[{\displaystyle \frac{3+8}{3}}\right]=3$$ である。以後も同じ値が続くので $0,2,3,3,3,\dots$ である。 $k=9$ のときは$$a_1=0,a_2=\left[{\displaystyle \frac{9}{3}}\right]=3,a_3=\left[{\displaystyle \frac{12}{3}}\right]=4,a_4=\left[{\displaystyle \frac{13}{3}}\right]=4$$である。よって $0,3,4,4,4,\dots$ である。

(2)

まず $$a_n\leqq {\displaystyle \frac{k-1}{2}}$$ を帰納法で示す。$a_1=0$ なので $n=1$ では成り立つ。$a_n\leqq (k-1)\mathrm{/}2$ と仮定すると $${\displaystyle \frac{a_n+k}{3}}\leqq {\displaystyle \frac{(k-1)\mathrm{/}2+k}{3}}={\displaystyle \frac{3k-1}{6}}$$ である。したがって $$a_{n+1}=\left[{\displaystyle \frac{a_n+k}{3}}\right]\leqq {\displaystyle \frac{3k-1}{6}}$$ である。ここで $a_{n+1}$ は整数である。$k$ が偶数のときも奇数のときも，整数が $(3k-1)\mathrm{/}6$ 以下であれば $(k-1)\mathrm{/}2$ 以下である。よって $$a_{n+1}\leqq {\displaystyle \frac{k-1}{2}}$$ となり，帰納法により上界が示された。

次に単調性を示す。上で示した上界から $2a_n\leqq k-1<k$ である。したがって $$a_n<{\displaystyle \frac{a_n+k}{3}}$$ である。$a_n$ は整数であり，$a_{n+1}$ は $(a_n+k)\mathrm{/}3$ を超えない最大の整数だから $a_n\leqq a_{n+1}$ である。

以上より，すべての自然数 $n$ に対して $$a_n\leqq {\displaystyle \frac{k-1}{2}},a_n\leqq a_{n+1}$$ が成り立つ。

(3) $a_n=a_{n+1}$ とする。この共通の値を $L$ とおくと $$L=\left[{\displaystyle \frac{L+k}{3}}\right]$$ である。次の項も同じ計算で $$a_{n+2}=\left[{\displaystyle \frac{L+k}{3}}\right]=L$$ となる。これを繰り返せば $$a_m=L=a_n(m\geqq n)$$ である。

このときの値 $L$ を求める。整数部分の定義より $$L\leqq {\displaystyle \frac{L+k}{3}}<L+1$$ である。左側の不等式から $$L\leqq {\displaystyle \frac{k}{2}}$$ であり，右側の不等式から $$L>{\displaystyle \frac{k-3}{2}}$$ である。また(2)より $$L\leqq {\displaystyle \frac{k-1}{2}}$$ である。したがって $L$ は $${\displaystyle \frac{k-3}{2}}<L\leqq {\displaystyle \frac{k-1}{2}}$$ を満たす整数である。この範囲にある整数はただ1つで，$$L=\left[{\displaystyle \frac{k-1}{2}}\right]$$ である。

よって $a_n=a_{n+1}$ となった後はすべて同じ値であり，その値は $\left[{\displaystyle \frac{k-1}{2}}\right]$ である。

先に候補となる固定値 $L=[(k-1)\mathrm{/}2]$ を決める。
写像 $T(x)=[(x+k)\mathrm{/}3]$ が整数区間 $0\leqq x\leqq L$ を保ち、
その区間では $T(x)\geqq x$ であることを示す。
これで上界と単調性を同時に得て、固定後の値も一意に決める。

$$L=\left[{\displaystyle \frac{k-1}{2}}\right]$$とおく。

(1)

$k=8$ では$$0,2,3,3,3,\dots ,$$$k=9$ では$$0,3,4,4,4,\dots$$となる。

(2)

$0\leqq x\leqq L$ を整数とする。$2L\leqq k-1$ だから$$x\leqq {\displaystyle \frac{x+k}{3}},$$よって整数部分を取っても$$x\leqq T(x):=\left[{\displaystyle \frac{x+k}{3}}\right]\mathrm{.}$$また $L\leqq (k-1)\mathrm{/}2$ を使うと$${\displaystyle \frac{x+k}{3}}\leqq {\displaystyle \frac{L+k}{3}}<L+1.$$したがって $T(x)\leqq L$ である。$a_1=0$ から帰納的に$$0\leqq a_n\leqq L,a_n\leqq a_{n+1}\mathrm{.}$$特に $L\leqq (k-1)\mathrm{/}2$ なので問題の2不等式が従う。

(3)

$a_n=a_{n+1}$ なら同じ入力に同じ写像 $T$ を繰り返すので$$a_m=a_n(m\geqq n)\mathrm{.}$$固定値を $M$ とすると$$M\leqq {\displaystyle \frac{M+k}{3}}<M+1,$$すなわち$${\displaystyle \frac{k-3}{2}}<M\leqq {\displaystyle \frac{k}{2}}\mathrm{.}$$さらに (2) より $M\leqq (k-1)\mathrm{/}2$ であるから$$M=\left[{\displaystyle \frac{k-1}{2}}\right]=L\mathrm{.}$$