京都大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

辺 $BC$ の長さを $2a$ とし、$M$ を原点、直線 $BC$ を $x$ 軸にとる。すると $B=(-a,0),C=(a,0)$ とおける。$A$ の座標を $A=(u,h)$ とおくと、$AH\perp BC$ より $H=(u,0)$ である。点 $P$ は線分 $MH$ 上にあるから、ある実数 $\lambda$ を用いて $$0\leqq \lambda \leqq 1,P=(\lambda u,0)$$ と書ける。

まず左辺を計算する。 $$A{B}^2=(u+a{)}^2+h^2,A{C}^2=(u-a{)}^2+h^2$$ であるから $$A{B}^2+A{C}^2=2u^2+2a^2+2h^2$$ である。

次に右辺を計算する。 $$A{P}^2=(u-\lambda u{)}^2+h^2=(1-\lambda {)}^2{u}^2+h^2$$ であり、また $$B{P}^2=(\lambda u+a{)}^2,C{P}^2=(\lambda u-a{)}^2$$ だから $$B{P}^2+C{P}^2=2{\lambda }^2{u}^2+2a^2$$ である。したがって $$2A{P}^2+B{P}^2+C{P}^2=2(1-\lambda {)}^2{u}^2+2h^2+2{\lambda }^2{u}^2+2a^2$$ である。

よって両辺の差は $A{B}^2+A{C}^2-(2A{P}^2+B{P}^2+C{P}^2)$ $$=2u^2+2a^2+2h^2-\{2(1-\lambda {)}^2{u}^2+2h^2+2{\lambda }^2{u}^2+2a^2\}$$ $$=4\lambda (1-\lambda )u^2$$ である。ここで $0\leqq \lambda \leqq 1$ だから $4\lambda (1-\lambda )u^2\geqq 0$ である。したがって $A{B}^2+A{C}^2\geqq 2A{P}^2+B{P}^2+C{P}^2$ が成り立つ。

座標計算をせず、三角形 $ABC$ と $PBC$ に中線定理を適用する。差を $AM,AP,PM$ だけで表した後、直角三角形 $AHM,AHP$ と $HM=MP+PH$ を使って非負の積へ変形する。

中線定理より$$A{B}^2+A{C}^2=2(A{M}^2+B{M}^2),$$また三角形 $PBC$ に対して$$B{P}^2+C{P}^2=2(P{M}^2+B{M}^2)$$である。従って両辺の差は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle A{B}^2+A{C}^2-(2A{P}^2+B{P}^2+C{P}^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(A{M}^2-P{M}^2-A{P}^2)\mathrm{.}}\end{array}$$$AH\perp BC$ で $M,P,H$ は一直線上にあるから$$A{M}^2=A{H}^2+H{M}^2,A{P}^2=A{H}^2+H{P}^2\mathrm{.}$$さらに $P$ は線分 $MH$ 上にあるので $HM=MP+PH$ である。従って$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A{M}^2-P{M}^2-A{P}^2}& {\displaystyle =H{M}^2-P{M}^2-H{P}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2MP\cdot PH\geqq 0.}\end{array}$$これより求める不等式が従う。等号は $P=M$ または $P=H$ のときに成り立つ。