京都大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

(1) 三角形の頂点を$$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$$とする。その面積を $T$ とすると$$2T=\mid (x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)\mid \mathrm{.}$$右辺は整数であり、三角形は退化していないので0ではない。従って $2T\geqq 1$、すなわち$$T\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$である。

(2) 凸四角形の頂点を反時計回りに $A,B,C,D$ とする。対角線 $AC$ は四角形を二つの格子三角形 $ABC,ACD$ に分ける。(1)より各面積は $1\mathrm{/}2$ 以上であり、和が1だから、どちらも面積 $1\mathrm{/}2$ である。$$\mathit{u}=\overrightarrow{AB},\mathit{v}=\overrightarrow{AC}$$とおき、向きを選んで $$\det (\mathit{u},\mathit{v})=1$$ とする。この行列式が1であるため、任意の格子ベクトルは $\mathit{u},\mathit{v}$ の整数係数で一意に表せる。従って$$\overrightarrow{AD}=r\mathit{u}+s\mathit{v}(r,s\text{ は整数})$$と書ける。

三角形 $ACD$ の面積が $1\mathrm{/}2$ で、$D$ は辺 $AC$ に関して $B$ と反対側にあるから$$\det (\mathit{v},\overrightarrow{AD})=1.$$左辺は $-r$ なので $r=-1$ である。また対角線 $BD$ で分けても二つの三角形の面積はともに $1\mathrm{/}2$ だから、三角形 $ABD$ について$$\det (\mathit{u},\overrightarrow{AD})=1.$$左辺は $s$ なので $s=1$ である。よって$$\overrightarrow{AD}=-\mathit{u}+\mathit{v}=\overrightarrow{BC}\mathrm{.}$$従って $AD\parallel BC$ かつ $AD=BC$ であり、この四角形は平行四辺形である。

(1) は2辺ベクトルの行列式が0でない整数であることを使う。
(2)では2本の対角線で分割される4個の格子三角形がすべて面積 $1\mathrm{/}2$
であると示し、面積 $1\mathrm{/}2$ の三角形が作る整数基底で頂点を座標化する。

(1)
3点を $A,B,C$ とする。面積は$$[ABC]={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid \det (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\mid \mathrm{.}$$行列式は整数であり、3点が三角形を作るなら0ではない。従って絶対値は
1以上で、面積は $1\mathrm{/}2$ 以上である。

(2)
凸四角形の頂点を順に $A,B,C,D$ とする。対角線 $AC$ は四角形を
$\mathrm{△}ABC$ と $\mathrm{△}ACD$ に分ける。各面積は(1)より
少なくとも $1\mathrm{/}2$、和は1だから、両方とも $1\mathrm{/}2$ である。
対角線 $BD$ についても同様に$$[ABD]=[BCD]={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$$A$ を原点とし$$\vec{u}=\overrightarrow{AB},\vec{w}=\overrightarrow{AC}$$とおく。$[ABC]=1\mathrm{/}2$ なので $\mathrm{\mid }\det (\vec{u},\vec{w})\mathrm{\mid }=1$ であり、
$\vec{u},\vec{w}$ は整数格子の基底になる。従って$$\overrightarrow{AD}=r\vec{u}+s\vec{w}(r,s\in \mathbb{Z})$$と一意に書ける。向きを $\det (\vec{u},\vec{w})=1$ と選ぶ。
凸性から $D$ は有向辺 $AC$ の $B$ と反対側にあるので $r=-1$、
また $[ABD]=1\mathrm{/}2$ より $\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }=1$、凸性から $s=1$ である。
従って$$\overrightarrow{AD}=-\vec{u}+\vec{w}\mathrm{.}$$ゆえに$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\vec{u}+(-\vec{u}+\vec{w})=\vec{w}=\overrightarrow{AC}\mathrm{.}$$すなわち対角線が互いの中点で交わるから、四角形 $ABCD$ は
平行四辺形である。