京都大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $\vec{c}=(x,y,z)$ とおく。$\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }=1$ であるから $x^2+y^2+z^2=1$ である。 $$\vec{a}=(1,0,0),\vec{b}=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},0)$$ なので $$\cos \alpha =\vec{a}\cdot \vec{c}=x$$ であり、$$\cos \beta =\vec{b}\cdot \vec{c}={\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}y$$ である。これを左辺に代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\cos }^2\alpha -\cos \alpha \cos \beta +{\cos }^2\beta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x^2-x({\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}y)+{({\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}y)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}{y}^2={\displaystyle \frac{3}{4}}(x^2+y^2)}\end{array}$$である。$x^2+y^2\leqq 1$ だから $${\cos }^2\alpha -\cos \alpha \cos \beta +{\cos }^2\beta \leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}$$ が成り立つ。

(2) $$X=\cos \alpha ,Y=\cos \beta$$ とおくと、不等式は $X^2-XY+Y^2\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}$ である。$$0\leqq \alpha ,\beta \leqq \pi$$ なので $-1\leqq X,Y\leqq 1$ である。

固定した $\alpha$ に対し、$Y$ について解くと $Y^2-(\cos \alpha )Y+{\cos }^2\alpha -{\displaystyle \frac{3}{4}}\leqq 0$ である。判別式は $3{\sin }^2\alpha$ であり、$0\leqq \alpha \leqq \pi$ では $\sin \alpha \geqq 0$ である。よって$${\displaystyle \frac{\cos \alpha -\sqrt{3}\sin \alpha }{2}}\leqq \cos \beta \leqq {\displaystyle \frac{\cos \alpha +\sqrt{3}\sin \alpha }{2}}$$である。三角関数の加法定理より、これは$$\cos (\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{3}})\leqq \cos \beta \leqq \cos (\alpha -{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$$である。 $0\leqq \beta \leqq \pi$ で $\cos \beta$ は単調減少する。したがって図示すべき範囲は$$\mid \alpha -{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mid \leqq \beta \leqq \{\begin{array}{ll}\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{3}}& (0\leqq \alpha \leqq {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}),\\ {\displaystyle \frac{5\pi }{3}}-\alpha & ({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\leqq \alpha \leqq \pi )\end{array}$$である。したがって $\alpha \beta$ 平面では、4直線$$\beta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}-\alpha ,\beta =\alpha -{\displaystyle \frac{\pi }{3}},\beta =\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{3}},\beta ={\displaystyle \frac{5\pi }{3}}-\alpha$$で囲まれる部分を描けばよい。頂点は$$(0,{\displaystyle \frac{\pi }{3}}),({\displaystyle \frac{\pi }{3}},0),(\pi ,{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}),({\displaystyle \frac{2\pi }{3}},\pi )$$である。

3本の単位ベクトルのグラム行列式を用いて不等式を一行で得る。
その後、余弦の加法定理と $0\leqq \alpha ,\beta \leqq \pi$ での単調性から、
楕円形の余弦領域を $\alpha \beta$ 平面上の四角形へ移す。

(1) $$X=\cos \alpha ,Y=\cos \beta$$とする。$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\mathrm{/}2$ なので、グラム行列の非負性より$$0\leqq \det \left(\begin{array}{ccc}1& 1\mathrm{/}2& X\\ 1\mathrm{/}2& 1& Y\\ X& Y& 1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}-X^2+XY-Y^2\mathrm{.}$$従って$${\cos }^2\alpha -\cos \alpha \cos \beta +{\cos }^2\beta \leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$(2)
$Y$ について解けば$$\cos (\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{3}})\leqq \cos \beta \leqq \cos (\alpha -{\displaystyle \frac{\pi }{3}})\mathrm{.}$$$[0,\pi ]$ で余弦は狭義単調減少するので$$\mid \alpha -{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mid \leqq \beta \leqq \{\begin{array}{ll}\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{3}}& (0\leqq \alpha \leqq {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}),\\ {\displaystyle \frac{5\pi }{3}}-\alpha & ({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\leqq \alpha \leqq \pi )\mathrm{.}\end{array}$$よって領域は$$(0,{\displaystyle \frac{\pi }{3}}),({\displaystyle \frac{\pi }{3}},0),(\pi ,{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}),({\displaystyle \frac{2\pi }{3}},\pi )$$を頂点とする閉じた四角形である。