京都大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $\vec{c}=(x,y,z)$ とおく。$\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }=1$ であるから $x^2+y^2+z^2=1$ である。

また $$\vec{a}=(1,0,0),\vec{b}=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},0)$$ なので $$\cos \alpha =\vec{a}\cdot \vec{c}=x$$ であり、$$\cos \beta =\vec{b}\cdot \vec{c}={\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}y$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\cos }^2\alpha -\cos \alpha \cos \beta +{\cos }^2\beta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x^2-x({\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}y)+{({\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}y)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}{y}^2={\displaystyle \frac{3}{4}}(x^2+y^2)}\end{array}$$である。$$x^2+y^2\leqq x^2+y^2+z^2=1$$ だから $${\cos }^2\alpha -\cos \alpha \cos \beta +{\cos }^2\beta \leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}$$ が成り立つ。

(2) $$X=\cos \alpha ,Y=\cos \beta$$ とおく。求める範囲は $$-1\leqq X\leqq 1,-1\leqq Y\leqq 1,X^2-XY+Y^2\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}$$ を $X=\cos \alpha$、$Y=\cos \beta$ で $\alpha \beta$ 平面に移したものである。

境界をより具体的に書く。固定した $\alpha$ に対して、$Y$ について解くと $Y^2-(\cos \alpha )Y+{\cos }^2\alpha -{\displaystyle \frac{3}{4}}\leqq 0$ である。判別式は $${\cos }^2\alpha -4({\cos }^2\alpha -{\displaystyle \frac{3}{4}})=3{\sin }^2\alpha$$ であり、$$0\leqq \alpha \leqq {180}^{\circ }$$ では $\sin \alpha \geqq 0$ である。よって$${\displaystyle \frac{\cos \alpha -\sqrt{3}\sin \alpha }{2}}\leqq \cos \beta \leqq {\displaystyle \frac{\cos \alpha +\sqrt{3}\sin \alpha }{2}}$$すなわち $$\cos (\alpha +{60}^{\circ })\leqq \cos \beta \leqq \cos (\alpha -{60}^{\circ })$$ である。 $$0\leqq \beta \leqq {180}^{\circ }$$ で $\cos \beta$ は単調減少するから、図示すべき範囲は$$\mathrm{\mid }\alpha -{60}^{\circ }\mathrm{\mid }\leqq \beta \leqq \{\begin{array}{ll}\alpha +{60}^{\circ }& (0\leqq \alpha \leqq {120}^{\circ }),\\ {300}^{\circ }-\alpha & ({120}^{\circ }\leqq \alpha \leqq {180}^{\circ })\end{array}$$である。したがって $\alpha \beta$ 平面では、4直線$$\beta ={60}^{\circ }-\alpha ,\beta =\alpha -{60}^{\circ },\beta =\alpha +{60}^{\circ },\beta ={300}^{\circ }-\alpha$$で囲まれる部分を描けばよい。頂点は$$(0^{\circ },{60}^{\circ }),({60}^{\circ },0^{\circ }),({180}^{\circ },{120}^{\circ }),({120}^{\circ },{180}^{\circ })$$である。

$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ のグラム行列が半正定値であること、すなわち
3本のベクトルの内積から作る行列式が非負であることを用いる。
得られる楕円領域を余弦の加法定理で $(\alpha ,\beta )$ の直線境界へ戻す。

(1) $$X=\cos \alpha =\vec{a}\cdot \vec{c},Y=\cos \beta =\vec{b}\cdot \vec{c}$$とおく。$$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }=1$$ かつ$$\vec{a}\cdot \vec{b}=\cos {60}^{\circ }=1\mathrm{/}2$$ である。
3本のベクトルのグラム行列は半正定値なので$$\det \left(\begin{array}{ccc}1& 1\mathrm{/}2& X\\ 1\mathrm{/}2& 1& Y\\ X& Y& 1\end{array}\right)\geqq 0.$$行列式を展開すると$${\displaystyle \frac{3}{4}}-X^2+XY-Y^2\geqq 0,$$すなわち$$X^2-XY+Y^2\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}$$を得る。これが(1)である。

固定した $\alpha$ に対して $Y=\cos \beta$ の範囲を求めると$$\cos (\alpha +{60}^{\circ })\leqq \cos \beta \leqq \cos (\alpha -{60}^{\circ })\mathrm{.}$$(2)$$0^{\circ }\leqq \beta \leqq {180}^{\circ }$$ で余弦は狭義単調減少するため、範囲は$$\mathrm{\mid }\alpha -{60}^{\circ }\mathrm{\mid }\leqq \beta \leqq \{\begin{array}{ll}\alpha +{60}^{\circ }& (0^{\circ }\leqq \alpha \leqq {120}^{\circ }),\\ {300}^{\circ }-\alpha & ({120}^{\circ }\leqq \alpha \leqq {180}^{\circ })\end{array}$$となる。したがって領域は$$(0^{\circ },{60}^{\circ }),({60}^{\circ },0^{\circ }),({180}^{\circ },{120}^{\circ }),({120}^{\circ },{180}^{\circ })$$を頂点とする四角形である。