京都大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

座標を$$A=(0,0,0),B=(1,0,0),D=(0,\sqrt{2},0),A^{\mathrm{\prime }}=(0,0,1)$$と定める。すると$$C^{\mathrm{\prime }}=(1,\sqrt{2},1),\mathrm{\mid }A{C}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }=2.$$$AP=x$ だから$$P=({\displaystyle \frac{x}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{2}x}{2}},{\displaystyle \frac{x}{2}})\mathrm{.}$$$A{C}^{\mathrm{\prime }}$ の方向ベクトルは $(1,\sqrt{2},1)$ なので、$P$ を通り $A{C}^{\mathrm{\prime }}$ に垂直な平面は$$X+\sqrt{2}Y+Z=2x$$である。

(1) $P$ が中点なら $x=1$ である。$$B^{\mathrm{\prime }}=(1,0,1),D=(0,\sqrt{2},0)$$はいずれも $X+\sqrt{2}Y+Z=2$ を満たす。従って切り口は $B^{\mathrm{\prime }}$ と $D$ を通る。

(2) $u=X,w=Y\mathrm{/}\sqrt{2},z=Z$ とおくと、直方体内では$$0\leqq u,w,z\leqq 1$$であり、切断面は$$u+2w+z=2x$$となる。$w=(2x-u-z)\mathrm{/}2$ だから、$uz$ 平面への射影領域 $D_x$ は$$0\leqq u,z\leqq 1,2x-2\leqq u+z\leqq 2x$$である。

切断面を$$(u,z)⟼(u,{\displaystyle \frac{2x-u-z}{\sqrt{2}}},z)$$と表示すると、面積要素は $\sqrt{2}dudz$ である。従って $S(x)$ は射影領域の面積の $\sqrt{2}$ 倍である。

単位正方形内で $u+z\leqq t$ となる部分の面積は$$A(t)=\{\begin{array}{ll}0& (t\leqq 0),\\ t^2\mathrm{/}2& (0\leqq t\leqq 1),\\ 1-(2-t{)}^2\mathrm{/}2& (1\leqq t\leqq 2),\\ 1& (t\geqq 2)\mathrm{.}\end{array}$$従って$$S(x)=\sqrt{2}\{A(2x)-A(2x-2)\}\mathrm{.}$$整理すると$$S(x)=\{\begin{array}{ll}2\sqrt{2}{x}^2& 0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}},\\ \sqrt{2}\{1-2(1-x{)}^2\}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq 1,\\ \sqrt{2}\{1-2(x-1{)}^2\}& 1\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}},\\ 2\sqrt{2}(2-x{)}^2& {\displaystyle \frac{3}{2}}\leqq x\leqq 2.\end{array}$$問題では $P$ は線分の内部にあるので $0<x<2$ であるが、上式は端点にも連続に延長してある。

切断方向を固定したまま対角線上を動かすので、$x=1$ に関する対称性を使う。
$0\leqq x\leqq 1$ では、射影された切り口が相似な三角形または
単位正方形から角の三角形を除いた形になることを幾何的に数える。

(1)
標準解答と同じ座標で、中点 $P$ に対応する切断面は$$u+2w+z=2$$である。$B^{\mathrm{\prime }}$ は $(u,w,z)=(1,0,1)$、$D$ は
$(u,w,z)=(0,1,0)$ であり、どちらも左辺が2になる。
従って切り口は $B^{\mathrm{\prime }},D$ を通る。

(2)
一般の $x$ では$$u+2w+z=2x,0\leqq u,w,z\leqq 1$$とする。$uz$ 平面への射影は$$0\leqq u,z\leqq 1,2x-2\leqq u+z\leqq 2x$$であり、切断面積は射影面積の $\sqrt{2}$ 倍である。

$0\leqq x\leqq 1\mathrm{/}2$ では下側の条件は自動的に満たされ、
射影は脚の長さが $2x$ の直角二等辺三角形である。従って$$S(x)=\sqrt{2}\cdot {\displaystyle \frac{(2x{)}^2}{2}}=2\sqrt{2}{x}^2\mathrm{.}$$$1\mathrm{/}2\leqq x\leqq 1$ では、単位正方形から
$u+z>2x$ の角の三角形を除く。除く三角形の脚は
$2-2x=2(1-x)$ だから$$S(x)=\sqrt{2}\{1-{\displaystyle \frac{[2(1-x){]}^2}{2}}\}=\sqrt{2}\{1-2(1-x{)}^2\}\mathrm{.}$$直方体を中心について点対称に移すと $AP=x$ の切断面は
$AP=2-x$ の切断面へ移るので$$S(x)=S(2-x)\mathrm{.}$$従って残りの範囲を含め$$S(x)=\{\begin{array}{ll}2\sqrt{2}{x}^2& 0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}},\\ \sqrt{2}\{1-2(1-x{)}^2\}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq 1,\\ \sqrt{2}\{1-2(x-1{)}^2\}& 1\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}},\\ 2\sqrt{2}(2-x{)}^2& {\displaystyle \frac{3}{2}}\leqq x\leqq 2.\end{array}$$$x=1$ では切断面が $B^{\mathrm{\prime }},D$ を通ることも座標式から直ちに確認できる。