Evolton
方針
4個の数から相異なる2個を選ぶ和は最大でも6種類しかない。一方、条件は から までの連続した整数をすべて作るというものなので、その個数 が6以下でなければならない。さらに , から を に絞り、残った少数の候補について実際に和が連続しているかを確認する。
解答
4個の整数 から相異なる2個を選ぶ方法は6通りである。したがって、作れる和の種類は多くても6個である。
一方、条件より までのすべての整数が得られる。この区間に含まれる整数の個数は である。よって が必要である。
また で整数だから、 である。したがって である。これと より である。さらに なので、 に限られる。
まず の場合を考える。このとき より である。また なので、候補は だけである。 のとき、和は であり、 から までのすべての整数が得られる。 のとき、和は であり、並べ替えると なので条件を満たす。
次に の場合を考える。このとき より である。また だから、候補は だけである。このとき和は であり、 から までのすべての整数が得られる。
以上より である。
別解
解法2
方針
6個の和を小さい順・大きい順から見る。最小は 、
その次は なので、連続性から が必要である。
さらに得るべき整数の個数が6以下であることを使えば となり、
少数の候補だけを完全に検査できる。
解答
6個の和のうち最小は である。2番目に小さい和は
である。実際、これ以外の和は または である。
条件より最初の2つの値は連続するから一方、 から までの整数は 個あり、
6通りの選び方で全部を作るので も用いると 、
よって または である。
なら で、 より 。
それぞれの和の集合はとなり条件を満たす。 なら で、同じ不等式から のみ。
和は で条件を満たす。したがって
総評
難度は10段階中5、計算量は4。目安時間は14分。解法1は本番答案として再現しやすい標準方針、解法2は構造を別方向から確認する方針である。
作れる和は重複を含め最大6種類である。連続整数の個数から候補を有限個へ落とし、最後は各候補が実際にすべての値を作ることまで確認する。
採点では、必要条件だけで止めず十分性・端点・小問番号を明示する。積分・総和・極限は独立行、分数は読みやすい表示寸法に統一し、問題固有の図は論理を補助する位置に置いた。