京都大学 2001年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

与式は$$(x-y-z{)}^2+y^2+z^2=5$$と書き直せる。従って$$y^2+z^2\leqq 5.$$$y,z$ は正の整数だから、候補は$$(y,z)=(1,1),(1,2),(2,1)$$だけである。

$(y,z)=(1,1)$ のときは$$(x-2{)}^2=3$$となり、整数 $x$ は存在しない。

$(y,z)=(1,2)$ または $(2,1)$ のときは $y^2+z^2=5$ なので$$(x-y-z{)}^2=0,$$従って $x=y+z=3$ である。

以上より求める組は$$(x,y,z)=(3,1,2),(3,2,1)\mathrm{.}$$どちらも元の式を満たす。

二次形式を3個の平方の和へ直す。
正の $y,z$ の平方を含む5の分割は
$5=0+1+4$ しかないため、順序だけを戻して $x$ を決める。

与えられた式は$$(x-y-z{)}^2+y^2+z^2=5$$と同値である。左辺は3個の整数の平方の和であり、
$y,z$ は正の整数である。

5以下の平方数は $0,1,4$ だけである。
$y^2,z^2$ は0ではないので、3個の平方の組は$$\{(x-y-z{)}^2,y^2,z^2\}=\{0,1,4\}$$でなければならない。特に$$(x-y-z{)}^2=0,\{y,z\}=\{1,2\}\mathrm{.}$$したがって $x=y+z=3$ であり、$$(x,y,z)=(3,1,2),(3,2,1)\mathrm{.}$$代入すれば、どちらも元の方程式を満たす。