京都大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

$x=\cos {\theta }^{\circ }$ とおく。$0\leqq \theta <360$ だから $-1\leqq x\leqq 1$ である。

三倍角・二倍角の公式より $$\cos 3{\theta }^{\circ }=4x^3-3x,\cos 2{\theta }^{\circ }=2x^2-1$$ である。したがって左辺は $$(4x^3-3x)-(2x^2-1)+3x-1=4x^3-2x^2$$ である。 $g(x)=4x^3-2x^2$ とおくと、$g^{\mathrm{\prime }}(x)=12x^2-4x=4x(3x-1)$ である。よって $g(x)$ は$$[-1,0]\text{ で増加},[0,{\displaystyle \frac{1}{3}}]\text{ で減少},[{\displaystyle \frac{1}{3}},1]\text{ で増加}$$する。また$$g(-1)=-6,g(0)=0,g\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)=-{\displaystyle \frac{2}{27}},g(1)=2$$である。

したがって、方程式 $g(x)=a$ の $-1\leqq x\leqq 1$ における解の個数は、上の増減から決まる。ただし、$x$ の解の個数をそのまま $\theta$ の個数にしてはいけない。$-1<x<1$ であれば $0\leqq \theta <360$ に対応する $\theta$ は2個あり、$x=1$ なら $\theta =0$ の1個、$x=-1$ なら $\theta =180$ の1個である。

これを合わせると、求める個数は$$\begin{array}{cc}a\text{ の範囲}& \theta \text{ の個数}\\ a<-6& 0\\ a=-6& 1\\ -6<a<-{\displaystyle \frac{2}{27}}& 2\\ a=-{\displaystyle \frac{2}{27}}& 4\\ -{\displaystyle \frac{2}{27}}<a<0& 6\\ a=0& 4\\ 0<a<2& 2\\ a=2& 1\\ 2<a& 0\end{array}$$である。

左辺を $x=\cos {\theta }^{\circ }$ の式へ直すと
$2x^2(2x-1)$ になる。区間 $[-1,1]$ を極値をとる
$-1,0,1\mathrm{/}3,1$ で分け、各枝の値域を横線 $y=a$ が横切る回数として数える。
端点 $x=\pm 1$ のみ角が1個、内部の $x$ は角が2個対応することを別に加味する。

$x=\cos {\theta }^{\circ }$ とおけば$$\cos 3{\theta }^{\circ }-\cos 2{\theta }^{\circ }+3\cos {\theta }^{\circ }-1=4x^3-2x^2=2x^2(2x-1)\mathrm{.}$$$g(x)=4x^3-2x^2$ の主要な値は$$g(-1)=-6,g(0)=0,g\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)=-{\displaystyle \frac{2}{27}},g(1)=2.$$また $g$ は $[-1,0]$ で増加、$[0,1\mathrm{/}3]$ で減少、
$[1\mathrm{/}3,1]$ で増加する。各単調な枝と横線 $y=a$ の交点を数え、
$-1<x<1$ の解には2個の角、$x=\pm 1$ には1個の角を対応させると$$\begin{array}{cc}a\text{ の範囲}& \theta \text{ の個数}\\ a<-6& 0\\ a=-6& 1\\ -6<a<-{\displaystyle \frac{2}{27}}& 2\\ a=-{\displaystyle \frac{2}{27}}& 4\\ -{\displaystyle \frac{2}{27}}<a<0& 6\\ a=0& 4\\ 0<a<2& 2\\ a=2& 1\\ a>2& 0\end{array}$$となる。